Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgval Structured version   Unicode version

Theorem sitgval 28661
 Description: Value of the simple function integral builder for a given space and measure . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b
sitgval.j
sitgval.s sigaGen
sitgval.0
sitgval.x
sitgval.h RRHomScalar
sitgval.1
sitgval.2 measures
Assertion
Ref Expression
sitgval sitg MblFnM g
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem sitgval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.1 . . 3
2 elex 3065 . . 3
31, 2syl 17 . 2
4 sitgval.2 . 2 measures
5 fveq2 5803 . . . . . . . 8
65fveq2d 5807 . . . . . . 7 sigaGen sigaGen
7 sitgval.s . . . . . . . 8 sigaGen
8 sitgval.j . . . . . . . . 9
98fveq2i 5806 . . . . . . . 8 sigaGen sigaGen
107, 9eqtri 2429 . . . . . . 7 sigaGen
116, 10syl6eqr 2459 . . . . . 6 sigaGen
1211oveq2d 6248 . . . . 5 MblFnMsigaGen MblFnM
13 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10
14 sitgval.0 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl6eqr 2459 . . . . . . . . 9
1615sneqd 3981 . . . . . . . 8
1716difeq2d 3558 . . . . . . 7
1817raleqdv 3007 . . . . . 6
1918anbi2d 702 . . . . 5
2012, 19rabeqbidv 3051 . . . 4 MblFnMsigaGen MblFnM
21 id 22 . . . . 5
2216difeq2d 3558 . . . . . 6
23 fveq2 5803 . . . . . . . 8
24 sitgval.x . . . . . . . 8
2523, 24syl6eqr 2459 . . . . . . 7
26 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2726fveq2d 5807 . . . . . . . . 9 RRHomScalar RRHomScalar
28 sitgval.h . . . . . . . . 9 RRHomScalar
2927, 28syl6eqr 2459 . . . . . . . 8 RRHomScalar
3029fveq1d 5805 . . . . . . 7 RRHomScalar
31 eqidd 2401 . . . . . . 7
3225, 30, 31oveq123d 6253 . . . . . 6 RRHomScalar
3322, 32mpteq12dv 4470 . . . . 5 RRHomScalar
3421, 33oveq12d 6250 . . . 4 g RRHomScalar g
3520, 34mpteq12dv 4470 . . 3 MblFnMsigaGen g RRHomScalar MblFnM g
36 dmeq 5143 . . . . . 6
3736oveq1d 6247 . . . . 5 MblFnM MblFnM
38 fveq1 5802 . . . . . . . 8
3938eleq1d 2469 . . . . . . 7
4039ralbidv 2840 . . . . . 6
4140anbi2d 702 . . . . 5
4237, 41rabeqbidv 3051 . . . 4 MblFnM MblFnM
43 simpl 455 . . . . . . . . 9
4443fveq1d 5805 . . . . . . . 8
4544fveq2d 5807 . . . . . . 7
4645oveq1d 6247 . . . . . 6
4746mpteq2dva 4478 . . . . 5
4847oveq2d 6248 . . . 4 g g
4942, 48mpteq12dv 4470 . . 3 MblFnM g MblFnM g
50 df-sitg 28659 . . 3 sitg measures MblFnMsigaGen g RRHomScalar
51 ovex 6260 . . . 4 MblFnM
5251mptrabex 6079 . . 3 MblFnM g
5335, 49, 50, 52ovmpt2 6373 . 2 measures sitg MblFnM g
543, 4, 53syl2anc 659 1 sitg MblFnM g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840  wral 2751  crab 2755  cvv 3056   cdif 3408  csn 3969  cuni 4188   cmpt 4450  ccnv 4939   cdm 4940   crn 4941  cima 4943  cfv 5523  (class class class)co 6232  cfn 7472  cc0 9440   cpnf 9573  cico 11500  cbs 14731  Scalarcsca 14802  cvsca 14803  ctopn 14926  c0g 14944   g cgsu 14945  RRHomcrrh 28307  sigaGencsigagen 28467  measurescmeas 28524  MblFnMcmbfm 28579  sitgcsitg 28658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4627 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-sitg 28659 This theorem is referenced by:  issibf  28662  sitgfval  28670  sitgf  28676
 Copyright terms: Public domain W3C validator