Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclre Structured version   Unicode version

Theorem sitgclre 28080
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
sitgval.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
sitgval.s  |-  S  =  (sigaGen `  J )
sitgval.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
sitgval.x  |-  .x.  =  ( .s `  W )
sitgval.h  |-  H  =  (RRHom `  (Scalar `  W
) )
sitgval.1  |-  ( ph  ->  W  e.  V )
sitgval.2  |-  ( ph  ->  M  e.  U. ran measures )
sibfmbl.1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( Wsitg M ) )
sitgclre.1  |-  ( ph  ->  W  e. Ban )
sitgclre.3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  = RRfld )
Assertion
Ref Expression
sitgclre  |-  ( ph  ->  ( ( Wsitg M
) `  F )  e.  B )

Proof of Theorem sitgclre
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 sitgval.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
3 sitgval.s . 2  |-  S  =  (sigaGen `  J )
4 sitgval.0 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 sitgval.x . 2  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 sitgval.h . 2  |-  H  =  (RRHom `  (Scalar `  W
) )
7 sitgval.1 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  V )
8 sitgval.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  U. ran measures )
9 sibfmbl.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( Wsitg M ) )
10 sitgclre.1 . 2  |-  ( ph  ->  W  e. Ban )
11 sitgclre.3 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  = RRfld )
12 rerrext 27783 . . 3  |- RRfld  e. ℝExt
1311, 12syl6eqel 2563 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  e. ℝExt  )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13sitgclbn 28078 1  |-  ( ph  ->  ( ( Wsitg M
) `  F )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4250   dom cdm 5004   ran crn 5005   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   TopOpenctopn 14689   0gc0g 14707  RRfldcrefld 18486  Bancbn 21617  RRHomcrrh 27767   ℝExt crrext 27768  sigaGencsigagen 27931  measurescmeas 27959  sitgcsitg 28064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-numer 14139  df-denom 14140  df-gz 14319  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-poset 15445  df-plt 15457  df-toset 15533  df-ps 15699  df-tsr 15700  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-od 16403  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-cring 17050  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-dvr 17181  df-rnghom 17213  df-drng 17246  df-field 17247  df-subrg 17275  df-abv 17314  df-lmod 17362  df-nzr 17753  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-metu 18266  df-cnfld 18268  df-zring 18336  df-zrh 18387  df-zlm 18388  df-chr 18389  df-refld 18487  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-reg 19662  df-cmp 19732  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-fcls 20287  df-cnext 20405  df-ust 20548  df-utop 20579  df-uss 20604  df-usp 20605  df-ucn 20624  df-cfilu 20635  df-cusp 20646  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-nm 20948  df-ngp 20949  df-nrg 20951  df-nlm 20952  df-nvc 20953  df-cncf 21227  df-cfil 21539  df-cmet 21541  df-cms 21619  df-bn 21620  df-omnd 27481  df-ogrp 27482  df-orng 27580  df-ofld 27581  df-qqh 27747  df-rrh 27769  df-rrext 27773  df-esum 27834  df-siga 27901  df-sigagen 27932  df-meas 27960  df-mbfm 28015  df-sitg 28065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator