Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclbn Structured version   Unicode version

Theorem sitgclbn 29172
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces, with additional conditions on its scalar field. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
sitgval.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
sitgval.s  |-  S  =  (sigaGen `  J )
sitgval.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
sitgval.x  |-  .x.  =  ( .s `  W )
sitgval.h  |-  H  =  (RRHom `  (Scalar `  W
) )
sitgval.1  |-  ( ph  ->  W  e.  V )
sitgval.2  |-  ( ph  ->  M  e.  U. ran measures )
sibfmbl.1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( Wsitg M ) )
sitgclbn.1  |-  ( ph  ->  W  e. Ban )
sitgclbn.2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  e. ℝExt  )
Assertion
Ref Expression
sitgclbn  |-  ( ph  ->  ( ( Wsitg M
) `  F )  e.  B )

Proof of Theorem sitgclbn
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 sitgval.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
3 sitgval.s . 2  |-  S  =  (sigaGen `  J )
4 sitgval.0 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 sitgval.x . 2  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 sitgval.h . 2  |-  H  =  (RRHom `  (Scalar `  W
) )
7 sitgval.1 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  V )
8 sitgval.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  U. ran measures )
9 sibfmbl.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( Wsitg M ) )
10 eqid 2422 . 2  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2422 . 2  |-  ( (
dist `  (Scalar `  W
) )  |`  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  X.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )  =  ( ( dist `  (Scalar `  W )
)  |`  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  X.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
12 sitgclbn.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. Ban )
13 bncms 22299 . . . 4  |-  ( W  e. Ban  ->  W  e. CMetSp )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
15 cmsms 22303 . . 3  |-  ( W  e. CMetSp  ->  W  e.  MetSp )
16 mstps 21457 . . 3  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  TopSp
)
1714, 15, 163syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  TopSp )
18 bnlmod 22298 . . 3  |-  ( W  e. Ban  ->  W  e.  LMod )
19 lmodcmn 18124 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
2012, 18, 193syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  W  e. CMnd )
21 sitgclbn.2 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  e. ℝExt  )
2212, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
23223ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  W  e.  LMod )
24 imassrn 5195 . . . . . 6  |-  ( H
" ( 0 [,) +oo ) )  C_  ran  H
256rneqi 5077 . . . . . . 7  |-  ran  H  =  ran  (RRHom `  (Scalar `  W ) )
26 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2726rrhfe 28812 . . . . . . . 8  |-  ( (Scalar `  W )  e. ℝExt  ->  (RRHom `  (Scalar `  W )
) : RR --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
28 frn 5749 . . . . . . . 8  |-  ( (RRHom `  (Scalar `  W )
) : RR --> ( Base `  (Scalar `  W )
)  ->  ran  (RRHom `  (Scalar `  W ) ) 
C_  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2921, 27, 283syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  (RRHom `  (Scalar `  W ) )  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
3025, 29syl5eqss 3508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
3124, 30syl5ss 3475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H " (
0 [,) +oo )
)  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
3231sselda 3464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  m  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
33323adant3 1025 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  m  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
34 simp3 1007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
351, 10, 5, 26lmodvscl 18096 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  m  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( m  .x.  x
)  e.  B )
3623, 33, 34, 35syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( m  .x.  x )  e.  B
)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21, 36sitgclg 29171 1  |-  ( ph  ->  ( ( Wsitg M
) `  F )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    C_ wss 3436   U.cuni 4216    X. cxp 4848   dom cdm 4850   ran crn 4851    |` cres 4852   "cima 4853   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   RRcr 9539   0cc0 9540   +oocpnf 9673   [,)cico 11638   Basecbs 15109  Scalarcsca 15181   .scvsca 15182   distcds 15187   TopOpenctopn 15308   0gc0g 15326  CMndccmn 17418   LModclmod 18079   TopSpctps 19906   MetSpcmt 21320  CMetSpccms 22287  Bancbn 22288  RRHomcrrh 28793   ℝExt crrext 28794  sigaGencsigagen 28956  measurescmeas 29013  sitgcsitg 29158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-numer 14672  df-denom 14673  df-gz 14862  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-ghm 16869  df-cntz 16959  df-od 17160  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-dvr 17899  df-rnghom 17931  df-drng 17965  df-subrg 17994  df-abv 18033  df-lmod 18081  df-nzr 18470  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-metu 18957  df-cnfld 18959  df-zring 19027  df-zrh 19062  df-zlm 19063  df-chr 19064  df-refld 19160  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-reg 20319  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-fcls 20943  df-cnext 21062  df-ust 21202  df-utop 21233  df-uss 21258  df-usp 21259  df-ucn 21278  df-cfilu 21289  df-cusp 21300  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-nm 21584  df-ngp 21585  df-nrg 21587  df-nlm 21588  df-nvc 21589  df-cncf 21897  df-cfil 22212  df-cmet 22214  df-cms 22290  df-bn 22291  df-qqh 28773  df-rrh 28795  df-rrext 28799  df-esum 28845  df-siga 28926  df-sigagen 28957  df-meas 29014  df-mbfm 29069  df-sitg 29159
This theorem is referenced by:  sitgclcn  29173  sitgclre  29174
  Copyright terms: Public domain W3C validator