Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclbn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sitgclbn 29176
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces, with additional conditions on its scalar field. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
sitgval.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
sitgval.s  |-  S  =  (sigaGen `  J )
sitgval.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
sitgval.x  |-  .x.  =  ( .s `  W )
sitgval.h  |-  H  =  (RRHom `  (Scalar `  W
) )
sitgval.1  |-  ( ph  ->  W  e.  V )
sitgval.2  |-  ( ph  ->  M  e.  U. ran measures )
sibfmbl.1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( Wsitg M ) )
sitgclbn.1  |-  ( ph  ->  W  e. Ban )
sitgclbn.2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  e. ℝExt  )
Assertion
Ref Expression
sitgclbn  |-  ( ph  ->  ( ( Wsitg M
) `  F )  e.  B )

Proof of Theorem sitgclbn
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 sitgval.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
3 sitgval.s . 2  |-  S  =  (sigaGen `  J )
4 sitgval.0 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 sitgval.x . 2  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 sitgval.h . 2  |-  H  =  (RRHom `  (Scalar `  W
) )
7 sitgval.1 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  V )
8 sitgval.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  U. ran measures )
9 sibfmbl.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( Wsitg M ) )
10 eqid 2451 . 2  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2451 . 2  |-  ( (
dist `  (Scalar `  W
) )  |`  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  X.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )  =  ( ( dist `  (Scalar `  W )
)  |`  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  X.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
12 sitgclbn.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. Ban )
13 bncms 22312 . . . 4  |-  ( W  e. Ban  ->  W  e. CMetSp )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
15 cmsms 22316 . . 3  |-  ( W  e. CMetSp  ->  W  e.  MetSp )
16 mstps 21470 . . 3  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  TopSp
)
1714, 15, 163syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  TopSp )
18 bnlmod 22311 . . 3  |-  ( W  e. Ban  ->  W  e.  LMod )
19 lmodcmn 18136 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
2012, 18, 193syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  W  e. CMnd )
21 sitgclbn.2 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  e. ℝExt  )
2212, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
23223ad2ant1 1029 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  W  e.  LMod )
24 imassrn 5179 . . . . . 6  |-  ( H
" ( 0 [,) +oo ) )  C_  ran  H
256rneqi 5061 . . . . . . 7  |-  ran  H  =  ran  (RRHom `  (Scalar `  W ) )
26 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2726rrhfe 28816 . . . . . . . 8  |-  ( (Scalar `  W )  e. ℝExt  ->  (RRHom `  (Scalar `  W )
) : RR --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
28 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( (RRHom `  (Scalar `  W )
) : RR --> ( Base `  (Scalar `  W )
)  ->  ran  (RRHom `  (Scalar `  W ) ) 
C_  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2921, 27, 283syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  (RRHom `  (Scalar `  W ) )  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
3025, 29syl5eqss 3476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
3124, 30syl5ss 3443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H " (
0 [,) +oo )
)  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
3231sselda 3432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  m  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
33323adant3 1028 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  m  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
34 simp3 1010 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
351, 10, 5, 26lmodvscl 18108 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  m  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( m  .x.  x
)  e.  B )
3623, 33, 34, 35syl3anc 1268 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( H " ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( m  .x.  x )  e.  B
)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21, 36sitgclg 29175 1  |-  ( ph  ->  ( ( Wsitg M
) `  F )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   U.cuni 4198    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   [,)cico 11637   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   distcds 15199   TopOpenctopn 15320   0gc0g 15338  CMndccmn 17430   LModclmod 18091   TopSpctps 19919   MetSpcmt 21333  CMetSpccms 22300  Bancbn 22301  RRHomcrrh 28797   ℝExt crrext 28798  sigaGencsigagen 28960  measurescmeas 29017  sitgcsitg 29162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-gz 14874  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-od 17172  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-nzr 18482  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-metu 18969  df-cnfld 18971  df-zring 19040  df-zrh 19075  df-zlm 19076  df-chr 19077  df-refld 19173  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-reg 20332  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-fcls 20956  df-cnext 21075  df-ust 21215  df-utop 21246  df-uss 21271  df-usp 21272  df-ucn 21291  df-cfilu 21302  df-cusp 21313  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-nvc 21602  df-cncf 21910  df-cfil 22225  df-cmet 22227  df-cms 22303  df-bn 22304  df-qqh 28777  df-rrh 28799  df-rrext 28803  df-esum 28849  df-siga 28930  df-sigagen 28961  df-meas 29018  df-mbfm 29073  df-sitg 29163
This theorem is referenced by:  sitgclcn  29177  sitgclre  29178
  Copyright terms: Public domain W3C validator