MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12ge0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sinq12ge0 23456
Description: The sine of a number between  0 and  pi is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinq12ge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  A
) )

Proof of Theorem sinq12ge0
StepHypRef Expression
1 0re 9640 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pire 23406 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
31, 2elicc2i 11697 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
43simp1bi 1022 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  A  e.  RR )
5 rexr 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
6 rexr 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
7 elioo2 11674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  pi ) ) )
85, 6, 7syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  e.  ( 0 (,) pi )  <-> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi ) ) )
91, 2, 8mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  pi ) )
10 sinq12gt0 23455 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
119, 10sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
12113expib 1210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A ) ) )
134, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A ) ) )
144resincld 14190 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
15 ltle 9719 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  A )  -> 
0  <_  ( sin `  A ) ) )
161, 14, 15sylancr 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
1713, 16syld 45 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <_  ( sin `  A ) ) )
1817expd 438 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <  A  ->  ( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) ) )
19 0le0 10696 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
20 sin0 14196 . . . . . . 7  |-  ( sin `  0 )  =  0
2119, 20breqtrri 4427 . . . . . 6  |-  0  <_  ( sin `  0
)
22 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( 0  =  A  ->  ( sin `  0 )  =  ( sin `  A
) )
2321, 22syl5breq 4437 . . . . 5  |-  ( 0  =  A  ->  0  <_  ( sin `  A
) )
2423a1d 26 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  ( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
2524a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  =  A  -> 
( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A ) ) ) )
263simp2bi 1023 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  A )
27 leloe 9717 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
281, 4, 27sylancr 668 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
2926, 28mpbid 214 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <  A  \/  0  =  A )
)
3018, 25, 29mpjaod 383 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
31 sinpi 23405 . . . . 5  |-  ( sin `  pi )  =  0
3219, 31breqtrri 4427 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  pi )
33 fveq2 5863 . . . 4  |-  ( A  =  pi  ->  ( sin `  A )  =  ( sin `  pi ) )
3432, 33syl5breqr 4438 . . 3  |-  ( A  =  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) )
3534a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  =  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
363simp3bi 1024 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  A  <_  pi )
37 leloe 9717 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  <_  pi  <->  ( A  <  pi  \/  A  =  pi )
) )
384, 2, 37sylancl 667 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  <_  pi  <->  ( A  <  pi  \/  A  =  pi ) ) )
3936, 38mpbid 214 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  <  pi  \/  A  =  pi ) )
4030, 35, 39mpjaod 383 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   sincsin 14109   picpi 14112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  cosq14ge0  23459  argimgt0  23554  sin2h  31928
  Copyright terms: Public domain W3C validator