MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12ge0 Structured version   Unicode version

Theorem sinq12ge0 21985
Description: The sine of a number between  0 and  pi is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinq12ge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  A
) )

Proof of Theorem sinq12ge0
StepHypRef Expression
1 0re 9401 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pire 21936 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
31, 2elicc2i 11376 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
43simp1bi 1003 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  A  e.  RR )
5 rexr 9444 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
6 rexr 9444 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
7 elioo2 11356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  pi ) ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  e.  ( 0 (,) pi )  <-> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi ) ) )
91, 2, 8mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  pi ) )
10 sinq12gt0 21984 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
119, 10sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
12113expib 1190 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A ) ) )
134, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A ) ) )
144resincld 13442 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
15 ltle 9478 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  A )  -> 
0  <_  ( sin `  A ) ) )
161, 14, 15sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
1713, 16syld 44 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <_  ( sin `  A ) ) )
1817expd 436 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <  A  ->  ( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) ) )
19 0le0 10426 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
20 sin0 13448 . . . . . . 7  |-  ( sin `  0 )  =  0
2119, 20breqtrri 4332 . . . . . 6  |-  0  <_  ( sin `  0
)
22 fveq2 5706 . . . . . 6  |-  ( 0  =  A  ->  ( sin `  0 )  =  ( sin `  A
) )
2321, 22syl5breq 4342 . . . . 5  |-  ( 0  =  A  ->  0  <_  ( sin `  A
) )
2423a1d 25 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  ( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
2524a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  =  A  -> 
( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A ) ) ) )
263simp2bi 1004 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  A )
27 leloe 9476 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
281, 4, 27sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
2926, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
0  <  A  \/  0  =  A )
)
3018, 25, 29mpjaod 381 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  <  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
31 sinpi 21935 . . . . 5  |-  ( sin `  pi )  =  0
3219, 31breqtrri 4332 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  pi )
33 fveq2 5706 . . . 4  |-  ( A  =  pi  ->  ( sin `  A )  =  ( sin `  pi ) )
3432, 33syl5breqr 4343 . . 3  |-  ( A  =  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) )
3534a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  =  pi  ->  0  <_  ( sin `  A
) ) )
363simp3bi 1005 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  A  <_  pi )
37 leloe 9476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  <_  pi  <->  ( A  <  pi  \/  A  =  pi )
) )
384, 2, 37sylancl 662 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  <_  pi  <->  ( A  <  pi  \/  A  =  pi ) ) )
3936, 38mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( A  <  pi  \/  A  =  pi ) )
4030, 35, 39mpjaod 381 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   RRcr 9296   0cc0 9297   RR*cxr 9432    < clt 9433    <_ cle 9434   (,)cioo 11315   [,]cicc 11318   sincsin 13364   picpi 13367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357
This theorem is referenced by:  cosq14ge0  21988  argimgt0  22076  sin2h  28441
  Copyright terms: Public domain W3C validator