Theorem sinper 8773

Description: The sine function is periodic. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinper	|- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (sin` (A + (K x. (2 x. pi)))) = (sin` A))

Proof of Theorem sinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinadd 7544	. . 3 |- ((A e. CC /\ (K x. (2 x. pi)) e. CC) -> (sin` (A + (K x. (2 x. pi)))) = (((sin` A) x. (cos` (K x. (2 x. pi)))) + ((cos` A) x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
2		zcn 6222	. . . 4 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
3		2cn 6041	. . . . . 6 |- 2 e. CC
4		pire 8760	. . . . . . 7 |- pi e. RR
5	4	recni 5379	. . . . . 6 |- pi e. CC
6	3, 5	mulcli 5386	. . . . 5 |- (2 x. pi) e. CC
7		mulcl 5368	. . . . 5 |- ((K e. CC /\ (2 x. pi) e. CC) -> (K x. (2 x. pi)) e. CC)
8	6, 7	mpan2 708	. . . 4 |- (K e. CC -> (K x. (2 x. pi)) e. CC)
9	2, 8	syl 10	. . 3 |- (K e. ZZ -> (K x. (2 x. pi)) e. CC)
10	1, 9	sylan2 462	. 2 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (sin` (A + (K x. (2 x. pi)))) = (((sin` A) x. (cos` (K x. (2 x. pi)))) + ((cos` A) x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
11		cos2kpi 8772	. . . . 5 |- (K e. ZZ -> (cos` (K x. (2 x. pi))) = 1)
12	11	opreq2d 4034	. . . 4 |- (K e. ZZ -> ((sin` A) x. (cos` (K x. (2 x. pi)))) = ((sin` A) x. 1))
13		sincl 7522	. . . . 5 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
14		ax1id 5347	. . . . 5 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A) x. 1) = (sin` A))
15	13, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. 1) = (sin` A))
16	12, 15	sylan9eqr 1576	. . 3 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> ((sin` A) x. (cos` (K x. (2 x. pi)))) = (sin` A))
17		sin2kpi 8771	. . . . 5 |- (K e. ZZ -> (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)
18	17	opreq2d 4034	. . . 4 |- (K e. ZZ -> ((cos` A) x. (sin` (K x. (2 x. pi)))) = ((cos` A) x. 0))
19		coscl 7523	. . . . 5 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
20		mul01 5508	. . . . 5 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A) x. 0) = 0)
21	19, 20	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A) x. 0) = 0)
22	18, 21	sylan9eqr 1576	. . 3 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> ((cos` A) x. (sin` (K x. (2 x. pi)))) = 0)
23	16, 22	opreq12d 4036	. 2 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (((sin` A) x. (cos` (K x. (2 x. pi)))) + ((cos` A) x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = ((sin` A) + 0))
24		addid1 5375	. . . 4 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A) + 0) = (sin` A))
25	13, 24	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> ((sin` A) + 0) = (sin` A))
26	25	adantr 398	. 2 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> ((sin` A) + 0) = (sin` A))
27	10, 23, 26	3eqtrd 1558	1 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (sin` (A + (K x. (2 x. pi)))) = (sin` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297  0cc0 5299  1c1 5300   + caddc 5302   x. cmul 5304  ZZcz 5363  2c2 6022  sincsin 7385  cosccos 7386  picpi 7387

This theorem is referenced by:  sin2pim 8775  abssinper 8795

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-r1 4705  df-rank 4706  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-5 6034  df-6 6035  df-7 6036  df-8 6037  df-9 6038  df-rp 6106  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-ioc 6387  df-ico 6388  df-icc 6389  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-seq0 6623  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-fac 7022  df-bc 7047  df-clim 7065  df-sum 7070  df-cncf 7353  df-ef 7388  df-sin 7390  df-cos 7391  df-pi 7392  df-top 7684  df-cn 7839  df-cnp 7840  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881  df-lm 8007

Copyright terms: Public domain