Theorem sinord 23483

Description: Sine is increasing over the closed interval from -u ( pi / 2 ) to ( pi / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	|- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Proof of Theorem sinord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 23420	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
2		halfpire 23419	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
3		iccssre 11716	. . . . 5 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
4	1, 2, 3	mp2an 678	. . . 4 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
5	4	sseli 3428	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
6	4	sseli 3428	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. RR )
7		ltsub2 10111	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
8	2, 7	mp3an3 1353	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
9	5, 6, 8	syl2an 480	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - B ) )
11	10	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
12	4	sseli 3428	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
13		resubcl 9938	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
14	2, 12, 13	sylancr 669	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
15	1, 2	elicc2i 11700	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ x /\ x <_ ( pi / 2 ) ) )
16	15	simp3bi 1025	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x <_ ( pi / 2 ) )
17		subge0 10127	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
18	2, 12, 17	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
19	16, 18	mpbird 236	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) )
20	15	simp2bi 1024	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ x )
21		lesub2 10109	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
22	1, 2, 21	mp3an13 1355	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
24	20, 23	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) )
25	2	recni 9655	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
26	25, 25	subnegi 9953	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) )
27		pidiv2halves 23422	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
28	26, 27	eqtri 2473	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = pi
29	24, 28	syl6breq 4442	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi )
30		0re 9643	. . . . . 6 |- 0 e. RR
31		pire 23413	. . . . . 6 |- pi e. RR
32	30, 31	elicc2i 11700	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) /\ ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1192	. . . 4 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
34	11, 33	vtoclga 3113	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) )
35		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
36	35	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
37	36, 33	vtoclga 3113	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) )
38		cosord 23481	. . 3 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
39	34, 37, 38	syl2anr 481	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
40	5	recnd 9669	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
41		coshalfpim 23450	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
42	40, 41	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
43	6	recnd 9669	. . . 4 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. CC )
44		coshalfpim 23450	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
45	43, 44	syl 17	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
46	42, 45	breqan12d 4418	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
47	9, 39, 46	3bitrd 283	1 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   2c2 10659   [,]cicc 11638   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  tanord1  23486