Theorem sinord 21989

Description: Sine is increasing over the closed interval from -u ( pi / 2 ) to ( pi / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	|- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Proof of Theorem sinord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 21926	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
2		halfpire 21925	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
3		iccssre 11376	. . . . 5 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
4	1, 2, 3	mp2an 672	. . . 4 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
5	4	sseli 3351	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
6	4	sseli 3351	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. RR )
7		ltsub2 9835	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
8	2, 7	mp3an3 1303	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
9	5, 6, 8	syl2an 477	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - B ) )
11	10	eleq1d 2508	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
12	4	sseli 3351	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
13		resubcl 9672	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
14	2, 12, 13	sylancr 663	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
15	1, 2	elicc2i 11360	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ x /\ x <_ ( pi / 2 ) ) )
16	15	simp3bi 1005	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x <_ ( pi / 2 ) )
17		subge0 9851	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
18	2, 12, 17	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
19	16, 18	mpbird 232	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) )
20	15	simp2bi 1004	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ x )
21		lesub2 9833	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
22	1, 2, 21	mp3an13 1305	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
23	12, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
24	20, 23	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) )
25	2	recni 9397	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
26	25, 25	subnegi 9686	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) )
27		pidiv2halves 21928	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
28	26, 27	eqtri 2462	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = pi
29	24, 28	syl6breq 4330	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi )
30		0re 9385	. . . . . 6 |- 0 e. RR
31		pire 21920	. . . . . 6 |- pi e. RR
32	30, 31	elicc2i 11360	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) /\ ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1172	. . . 4 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
34	11, 33	vtoclga 3035	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) )
35		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
36	35	eleq1d 2508	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
37	36, 33	vtoclga 3035	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) )
38		cosord 21987	. . 3 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
39	34, 37, 38	syl2anr 478	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
40	5	recnd 9411	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
41		coshalfpim 21956	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
42	40, 41	syl 16	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
43	6	recnd 9411	. . . 4 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. CC )
44		coshalfpim 21956	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
45	43, 44	syl 16	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
46	42, 45	breqan12d 4306	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
47	9, 39, 46	3bitrd 279	1 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   C_ wss 3327   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   + caddc 9284   < clt 9417   <_ cle 9418   - cmin 9594   -ucneg 9595   / cdiv 9992   2c2 10370   [,]cicc 11302   sincsin 13348   cosccos 13349   picpi 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-pi 13357  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341

This theorem is referenced by:  tanord1  21992