Theorem sinord 23105

Description: Sine is increasing over the closed interval from -u ( pi / 2 ) to ( pi / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	|- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Proof of Theorem sinord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 23042	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
2		halfpire 23041	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
3		iccssre 11577	. . . . 5 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
4	1, 2, 3	mp2an 670	. . . 4 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
5	4	sseli 3437	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
6	4	sseli 3437	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. RR )
7		ltsub2 10010	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
8	2, 7	mp3an3 1315	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
9	5, 6, 8	syl2an 475	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10		oveq2 6242	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - B ) )
11	10	eleq1d 2471	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
12	4	sseli 3437	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
13		resubcl 9839	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
14	2, 12, 13	sylancr 661	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
15	1, 2	elicc2i 11561	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ x /\ x <_ ( pi / 2 ) ) )
16	15	simp3bi 1014	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x <_ ( pi / 2 ) )
17		subge0 10026	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
18	2, 12, 17	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
19	16, 18	mpbird 232	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) )
20	15	simp2bi 1013	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ x )
21		lesub2 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
22	1, 2, 21	mp3an13 1317	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
24	20, 23	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) )
25	2	recni 9558	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
26	25, 25	subnegi 9854	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) )
27		pidiv2halves 23044	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
28	26, 27	eqtri 2431	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = pi
29	24, 28	syl6breq 4433	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi )
30		0re 9546	. . . . . 6 |- 0 e. RR
31		pire 23035	. . . . . 6 |- pi e. RR
32	30, 31	elicc2i 11561	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) /\ ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1181	. . . 4 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
34	11, 33	vtoclga 3122	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) )
35		oveq2 6242	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
36	35	eleq1d 2471	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
37	36, 33	vtoclga 3122	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) )
38		cosord 23103	. . 3 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
39	34, 37, 38	syl2anr 476	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
40	5	recnd 9572	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
41		coshalfpim 23072	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
42	40, 41	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
43	6	recnd 9572	. . . 4 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. CC )
44		coshalfpim 23072	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
45	43, 44	syl 17	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
46	42, 45	breqan12d 4409	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
47	9, 39, 46	3bitrd 279	1 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   C_ wss 3413   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   + caddc 9445   < clt 9578   <_ cle 9579   - cmin 9761   -ucneg 9762   / cdiv 10167   2c2 10546   [,]cicc 11503   sincsin 13900   cosccos 13901   picpi 13903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455

This theorem is referenced by:  tanord1  23108