Theorem sinord 22649

Description: Sine is increasing over the closed interval from -u ( pi / 2 ) to ( pi / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	|- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Proof of Theorem sinord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 22586	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
2		halfpire 22585	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
3		iccssre 11597	. . . . 5 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
4	1, 2, 3	mp2an 672	. . . 4 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
5	4	sseli 3495	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
6	4	sseli 3495	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. RR )
7		ltsub2 10040	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
8	2, 7	mp3an3 1308	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
9	5, 6, 8	syl2an 477	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10		oveq2 6285	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - B ) )
11	10	eleq1d 2531	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
12	4	sseli 3495	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
13		resubcl 9874	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
14	2, 12, 13	sylancr 663	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
15	1, 2	elicc2i 11581	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ x /\ x <_ ( pi / 2 ) ) )
16	15	simp3bi 1008	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x <_ ( pi / 2 ) )
17		subge0 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
18	2, 12, 17	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
19	16, 18	mpbird 232	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) )
20	15	simp2bi 1007	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ x )
21		lesub2 10038	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
22	1, 2, 21	mp3an13 1310	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
23	12, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
24	20, 23	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) )
25	2	recni 9599	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
26	25, 25	subnegi 9889	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) )
27		pidiv2halves 22588	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
28	26, 27	eqtri 2491	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = pi
29	24, 28	syl6breq 4481	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi )
30		0re 9587	. . . . . 6 |- 0 e. RR
31		pire 22580	. . . . . 6 |- pi e. RR
32	30, 31	elicc2i 11581	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) /\ ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1175	. . . 4 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
34	11, 33	vtoclga 3172	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) )
35		oveq2 6285	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
36	35	eleq1d 2531	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
37	36, 33	vtoclga 3172	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) )
38		cosord 22647	. . 3 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
39	34, 37, 38	syl2anr 478	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
40	5	recnd 9613	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
41		coshalfpim 22616	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
42	40, 41	syl 16	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
43	6	recnd 9613	. . . 4 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. CC )
44		coshalfpim 22616	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
45	43, 44	syl 16	. . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
46	42, 45	breqan12d 4457	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
47	9, 39, 46	3bitrd 279	1 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   C_ wss 3471   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   + caddc 9486   < clt 9619   <_ cle 9620   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10197   2c2 10576   [,]cicc 11523   sincsin 13652   cosccos 13653   picpi 13655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001

This theorem is referenced by:  tanord1  22652