MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinord Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem sinord 23562
Description: Sine is increasing over the closed interval from -u ( pi / 2 ) to ( pi / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinord |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
Proof of Theorem sinord
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 23499 . . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
2 halfpire 23498 . . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
3 iccssre 11741 . . . . 5 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
41, 2, 3mp2an 686 . . . 4 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
54sseli 3414 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
64sseli 3414 . . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. RR )
7 ltsub2 10132 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
82, 7mp3an3 1379 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
95, 6, 8syl2an 485 . 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10 oveq2 6316 . . . . 5 |- ( x = B -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - B ) )
1110eleq1d 2533 . . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
124sseli 3414 . . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
13 resubcl 9958 . . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
142, 12, 13sylancr 676 . . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
151, 2elicc2i 11725 . . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ x /\ x <_ ( pi / 2 ) ) )
1615simp3bi 1047 . . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x <_ ( pi / 2 ) )
17 subge0 10148 . . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
182, 12, 17sylancr 676 . . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
1916, 18mpbird 240 . . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) )
2015simp2bi 1046 . . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ x )
21 lesub2 10130 . . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
221, 2, 21mp3an13 1381 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) ) )
2420, 23mpbid 215 . . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) )
252recni 9673 . . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
2625, 25subnegi 9973 . . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) )
27 pidiv2halves 23501 . . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
2826, 27eqtri 2493 . . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = pi
2924, 28syl6breq 4435 . . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi )
30 0re 9661 . . . . . 6 |- 0 e. RR
31 pire 23492 . . . . . 6 |- pi e. RR
3230, 31elicc2i 11725 . . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) /\ ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
3314, 19, 29, 32syl3anbrc 1214 . . . 4 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
3411, 33vtoclga 3099 . . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) )
35 oveq2 6316 . . . . 5 |- ( x = A -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
3635eleq1d 2533 . . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) )
3736, 33vtoclga 3099 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) )
38 cosord 23560 . . 3 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - B ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
3934, 37, 38syl2anr 486 . 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - B ) < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) ) )
405recnd 9687 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
41 coshalfpim 23529 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
4240, 41syl 17 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( sin ` A ) )
436recnd 9687 . . . 4 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> B e. CC )
44 coshalfpim 23529 . . . 4 |- ( B e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
4543, 44syl 17 . . 3 |- ( B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) = ( sin ` B ) )
4642, 45breqan12d 4411 . 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) < ( cos ` ( ( pi / 2 ) - B ) ) <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
479, 39, 463bitrd 287 1 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( sin ` A ) < ( sin ` B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   2c2 10681   [,]cicc 11663   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  tanord1  23565
  Copyright terms: Public domain W3C validator