MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinltx Structured version   Unicode version

Theorem sinltx 14131
Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinltx  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)

Proof of Theorem sinltx
StepHypRef Expression
1 rpre 11270 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
21adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
32resincld 14085 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
4 1red 9640 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  e.  RR )
5 sinbnd 14122 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
65simprd 461 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
71, 6syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <_  1
)
87adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
9 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  <  A )
103, 4, 2, 8, 9lelttrd 9773 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
11 df-3an 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
12 0xr 9669 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
13 1re 9624 . . . . 5  |-  1  e.  RR
14 elioc2 11639 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
1512, 13, 14mp2an 670 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
16 elrp 11266 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
1716anbi1i 693 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
1811, 15, 173bitr4i 277 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR+  /\  A  <_ 
1 ) )
19 sin01bnd 14127 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
2019simprd 461 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
2118, 20sylbir 213 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
22 1red 9640 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
2310, 21, 22, 1ltlecasei 9723 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841    / cdiv 10246   3c3 10626   RR+crp 11264   (,]cioc 11582   ^cexp 12208   sincsin 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013
This theorem is referenced by:  basellem8  23740
  Copyright terms: Public domain W3C validator