Theorem sinhalfpilem 10028

Description: Lemma for sinhalfpi 10029 and coshalfpi 10030.

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ((sin` (pi / 2)) = 1 /\ (cos` (pi / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt01 6871	. . . . . 6 |- 0 < 1
2		0re 6603	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
3		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
4	2, 3	ltnsymi 6752	. . . . . 6 |- (0 < 1 -> -. 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- -. 1 < 0
6		lt0neg1 6857	. . . . . 6 |- (1 e. RR -> (1 < 0 <-> 0 < -u1))
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (1 < 0 <-> 0 < -u1)
8	5, 7	mtbi 208	. . . 4 |- -. 0 < -u1
9		pire 10026	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
10		2re 7163	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
11		2ne0 7174	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
12	9, 10, 11	redivcli 6976	. . . . . . 7 |- (pi / 2) e. RR
13		pipos 10027	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
14		2pos 7173	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
15	9, 10, 13, 14	divgt0ii 7042	. . . . . . 7 |- 0 < (pi / 2)
16		4re 7166	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
17		pigt2lt4 10024	. . . . . . . . . 10 |- (2 < pi /\ pi < 4)
18	17	simpri 351	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
19	9, 16, 18	ltleii 6756	. . . . . . . 8 |- pi <_ 4
20		ledivmulOLD 7052	. . . . . . . . . . 11 |- (((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2)))
21	14, 20	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- ((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 2 e. RR) -> ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2)))
22	9, 10, 10, 21	mp3an 1191	. . . . . . . . 9 |- ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2))
23		2t2e4 7206	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. 2) = 4
24	23	breq2i 3346	. . . . . . . . 9 |- (pi <_ (2 x. 2) <-> pi <_ 4)
25	22, 24	bitr2i 191	. . . . . . . 8 |- (pi <_ 4 <-> (pi / 2) <_ 2)
26	19, 25	mpbi 206	. . . . . . 7 |- (pi / 2) <_ 2
27		elioc2 7558	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR) -> ((pi / 2) e. (0(,]2) <-> ((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2)))
28	2, 10, 27	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- ((pi / 2) e. (0(,]2) <-> ((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2))
29	28	biimpri 169	. . . . . . 7 |- (((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2) -> (pi / 2) e. (0(,]2))
30	12, 15, 26, 29	mp3an 1191	. . . . . 6 |- (pi / 2) e. (0(,]2)
31		sin02gt0 8744	. . . . . 6 |- ((pi / 2) e. (0(,]2) -> 0 < (sin` (pi / 2)))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 < (sin` (pi / 2))
33		breq2 3342	. . . . 5 |- ((sin` (pi / 2)) = -u1 -> (0 < (sin` (pi / 2)) <-> 0 < -u1))
34	32, 33	mpbii 210	. . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) = -u1 -> 0 < -u1)
35	8, 34	mto 121	. . 3 |- -. (sin` (pi / 2)) = -u1
36		resincl 8703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((pi / 2) e. RR -> (sin` (pi / 2)) e. RR)
37	12, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (sin` (pi / 2)) e. RR
38	37, 32	gt0ne0ii 6799	. . . . . . . . . . . 12 |- (sin` (pi / 2)) =/= 0
39		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . 12 |- ((sin` (pi / 2)) =/= 0 <-> -. (sin` (pi / 2)) = 0)
40	38, 39	mpbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- -. (sin` (pi / 2)) = 0
41		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 =/= 0 <-> -. 2 = 0)
42	11, 41	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 2 = 0
43	9	recni 6467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. CC
44		2cn 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
45	43, 44, 11	divcan2i 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2 x. (pi / 2)) = pi
46	45	fveq2i 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` (2 x. (pi / 2))) = (sin` pi)
47	12	recni 6467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (pi / 2) e. CC
48		sin2t 8727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((pi / 2) e. CC -> (sin` (2 x. (pi / 2))) = (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))))
49	47, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` (2 x. (pi / 2))) = (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))))
50		sinpi 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` pi) = 0
51	46, 49, 50	3eqtr3i 1918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))) = 0
52		sincl 8696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((pi / 2) e. CC -> (sin` (pi / 2)) e. CC)
53	47, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (sin` (pi / 2)) e. CC
54		coscl 8697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((pi / 2) e. CC -> (cos` (pi / 2)) e. CC)
55	47, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (cos` (pi / 2)) e. CC
56	53, 55	mulcli 6474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) e. CC
57	44, 56	mul0ori 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))) = 0 <-> (2 = 0 \/ ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 = 0 \/ ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0)
59	58	ori 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. 2 = 0 -> ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0)
60	42, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0
61	53, 55	mul0ori 6882	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0 <-> ((sin` (pi / 2)) = 0 \/ (cos` (pi / 2)) = 0))
62	60, 61	mpbi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ((sin` (pi / 2)) = 0 \/ (cos` (pi / 2)) = 0)
63	62	ori 247	. . . . . . . . . . 11 |- (-. (sin` (pi / 2)) = 0 -> (cos` (pi / 2)) = 0)
64	40, 63	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (cos` (pi / 2)) = 0
65	64	opreq1i 4892	. . . . . . . . 9 |- ((cos` (pi / 2))^2) = (0^2)
66		sq0 7880	. . . . . . . . 9 |- (0^2) = 0
67	65, 66	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- ((cos` (pi / 2))^2) = 0
68	67	opreq2i 4893	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = (((sin` (pi / 2))^2) + 0)
69		sincossq 8726	. . . . . . . 8 |- ((pi / 2) e. CC -> (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = 1)
70	47, 69	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = 1
71	53	sqcli 7860	. . . . . . . 8 |- ((sin` (pi / 2))^2) e. CC
72	71	addid1i 6483	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + 0) = ((sin` (pi / 2))^2)
73	68, 70, 72	3eqtr3ri 1920	. . . . . 6 |- ((sin` (pi / 2))^2) = 1
74		sq1 7882	. . . . . 6 |- (1^2) = 1
75	73, 74	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- ((sin` (pi / 2))^2) = (1^2)
76		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
77	53, 76	sqeqori 7893	. . . . 5 |- (((sin` (pi / 2))^2) = (1^2) <-> ((sin` (pi / 2)) = 1 \/ (sin` (pi / 2)) = -u1))
78	75, 77	mpbi 206	. . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) = 1 \/ (sin` (pi / 2)) = -u1)
79	78	ori 247	. . 3 |- (-. (sin` (pi / 2)) = 1 -> (sin` (pi / 2)) = -u1)
80	35, 79	mt3 127	. 2 |- (sin` (pi / 2)) = 1
81	80, 64	pm3.2i 307	1 |- ((sin` (pi / 2)) = 1 /\ (cos` (pi / 2)) = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  4c4 7147  (,]cioc 7525  ^cexp 7811  sincsin 8557  cosccos 8558  picpi 8559

This theorem is referenced by:  sinhalfpi 10029  coshalfpi 10030

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160  df-9 7161  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-ioc 7529  df-ico 7530  df-icc 7531  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-cncf 8525  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563  df-pi 8564  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200

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