MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Unicode version

Theorem sinhalfpilem 21900
Description: Lemma for sinhalfpi 21905 and coshalfpi 21906. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  /\  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 9854 . . . . . 6  |-  0  <  1
2 0re 9378 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9377 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
42, 3ltnsymi 9485 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  1  <  0
6 lt0neg1 9837 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  <  0  <->  0  <  -u 1 ) )
73, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  <->  0  <  -u 1 )
85, 7mtbi 298 . . . 4  |-  -.  0  <  -u 1
9 pire 21896 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
109rehalfcli 10565 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
11 2re 10383 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
12 pipos 21898 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
13 2pos 10405 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
149, 11, 12, 13divgt0ii 10242 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  2
)
15 4re 10390 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
16 pigt2lt4 21894 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
1716simpri 462 . . . . . . . . 9  |-  pi  <  4
189, 15, 17ltleii 9489 . . . . . . . 8  |-  pi  <_  4
1911, 13pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
20 ledivmul 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <_ 
2  <->  pi  <_  ( 2  x.  2 ) ) )
219, 11, 19, 20mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  <_  2  <->  pi  <_  ( 2  x.  2 ) )
22 2t2e4 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2322breq2i 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
<_  ( 2  x.  2 )  <->  pi  <_  4 )
2421, 23bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
<_  4  <->  ( pi  / 
2 )  <_  2
)
2518, 24mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_ 
2
26 0xr 9422 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
27 elioc2 11350 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
( pi  /  2
)  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  2
) ) )
2826, 11, 27mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  2
) )
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1170 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 (,] 2
)
30 sin02gt0 13468 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  2 ) )
32 breq2 4291 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  -u 1  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  2
) )  <->  0  <  -u 1 ) )
3331, 32mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  -u 1  ->  0  <  -u 1 )
348, 33mto 176 . . 3  |-  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
35 sq1 11952 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
36 resincl 13416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR )
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  e.  RR
3837, 31gt0ne0ii 9868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =/=  0
3938neii 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  0
40 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
4140neii 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  0
429recni 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  e.  CC
43 2cn 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
4442, 43, 40divcan2i 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4544fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  pi )
4610recni 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
47 sin2t 13453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
4945, 48eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  pi )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
50 sinpi 21895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  pi )  =  0
5149, 50eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  2
) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  0
52 sincl 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC )
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  e.  CC
54 coscl 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC )
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  e.  CC
5653, 55mulcli 9383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  e.  CC
5743, 56mul0ori 9976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  =  0 ) )
5851, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) )  =  0 )
5941, 58mtpor 1577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  =  0
6053, 55mul0ori 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) )  =  0  <->  ( ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  0  \/  ( cos `  (
pi  /  2 ) )  =  0 ) )
6159, 60mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  0  \/  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
6239, 61mtpor 1577 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
6362oveq1i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 )
64 sq0 11949 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
6563, 64eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  0
6665oveq2i 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )
67 sincossq 13452 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  1
6966, 68eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  1
7053sqcli 11938 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC
7170addid1i 9548 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )
7235, 69, 713eqtr2ri 2465 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
73 ax-1cn 9332 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7453, 73sqeqori 11970 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  1  \/  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  -u
1 ) )
7572, 74mpbi 208 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  \/  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1 )
7675ori 375 . . 3  |-  ( -.  ( sin `  (
pi  /  2 ) )  =  1  -> 
( sin `  (
pi  /  2 ) )  =  -u 1
)
7734, 76mt3 180 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
7877, 62pm3.2i 455 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  /\  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   -ucneg 9588    / cdiv 9985   2c2 10363   4c4 10365   (,]cioc 11293   ^cexp 11857   sincsin 13341   cosccos 13342   picpi 13344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  21905  coshalfpi  21906
  Copyright terms: Public domain W3C validator