MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Unicode version

Theorem sinhalfpilem 22057
Description: Lemma for sinhalfpi 22062 and coshalfpi 22063. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  /\  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 9972 . . . . . 6  |-  0  <  1
2 0re 9496 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9495 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
42, 3ltnsymi 9603 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  1  <  0
6 lt0neg1 9955 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  <  0  <->  0  <  -u 1 ) )
73, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  <->  0  <  -u 1 )
85, 7mtbi 298 . . . 4  |-  -.  0  <  -u 1
9 pire 22053 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
109rehalfcli 10683 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
11 2re 10501 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
12 pipos 22055 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
13 2pos 10523 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
149, 11, 12, 13divgt0ii 10360 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  2
)
15 4re 10508 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
16 pigt2lt4 22051 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
1716simpri 462 . . . . . . . . 9  |-  pi  <  4
189, 15, 17ltleii 9607 . . . . . . . 8  |-  pi  <_  4
1911, 13pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
20 ledivmul 10315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <_ 
2  <->  pi  <_  ( 2  x.  2 ) ) )
219, 11, 19, 20mp3an 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  <_  2  <->  pi  <_  ( 2  x.  2 ) )
22 2t2e4 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2322breq2i 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
<_  ( 2  x.  2 )  <->  pi  <_  4 )
2421, 23bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
<_  4  <->  ( pi  / 
2 )  <_  2
)
2518, 24mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_ 
2
26 0xr 9540 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
27 elioc2 11468 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
( pi  /  2
)  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  2
) ) )
2826, 11, 27mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  2
) )
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1170 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 (,] 2
)
30 sin02gt0 13593 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  2 ) )
32 breq2 4403 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  -u 1  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  2
) )  <->  0  <  -u 1 ) )
3331, 32mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  -u 1  ->  0  <  -u 1 )
348, 33mto 176 . . 3  |-  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
35 sq1 12076 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
36 resincl 13541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR )
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  e.  RR
3837, 31gt0ne0ii 9986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =/=  0
3938neii 2651 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  0
40 2ne0 10524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
4140neii 2651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  0
429recni 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  e.  CC
43 2cn 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
4442, 43, 40divcan2i 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4544fveq2i 5801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  pi )
4610recni 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
47 sin2t 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
4945, 48eqtr3i 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  pi )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
50 sinpi 22052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  pi )  =  0
5149, 50eqtr3i 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  2
) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  0
52 sincl 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC )
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  e.  CC
54 coscl 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC )
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  e.  CC
5653, 55mulcli 9501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  e.  CC
5743, 56mul0ori 10094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  =  0 ) )
5851, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) )  =  0 )
5941, 58mtpor 1578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  =  0
6053, 55mul0ori 10094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) )  =  0  <->  ( ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  0  \/  ( cos `  (
pi  /  2 ) )  =  0 ) )
6159, 60mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  0  \/  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
6239, 61mtpor 1578 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
6362oveq1i 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 )
64 sq0 12073 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
6563, 64eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  0
6665oveq2i 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )
67 sincossq 13577 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  1
6966, 68eqtr3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  1
7053sqcli 12062 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC
7170addid1i 9666 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )
7235, 69, 713eqtr2ri 2490 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
73 ax-1cn 9450 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7453, 73sqeqori 12094 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  1  \/  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  -u
1 ) )
7572, 74mpbi 208 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  \/  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1 )
7675ori 375 . . 3  |-  ( -.  ( sin `  (
pi  /  2 ) )  =  1  -> 
( sin `  (
pi  /  2 ) )  =  -u 1
)
7734, 76mt3 180 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
7877, 62pm3.2i 455 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  /\  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529   -ucneg 9706    / cdiv 10103   2c2 10481   4c4 10483   (,]cioc 11411   ^cexp 11981   sincsin 13466   cosccos 13467   picpi 13469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  22062  coshalfpi  22063
  Copyright terms: Public domain W3C validator