MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinf Structured version   Unicode version

Theorem sinf 13408
Description: Domain and codomain of the sine function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinf  |-  sin : CC
--> CC

Proof of Theorem sinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sin 13355 . 2  |-  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
2 ax-icn 9341 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
3 mulcl 9366 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
42, 3mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
5 efcl 13368 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7 negicn 9611 . . . . . 6  |-  -u _i  e.  CC
8 mulcl 9366 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  x )  e.  CC )
97, 8mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  x )  e.  CC )
10 efcl 13368 . . . . 5  |-  ( (
-u _i  x.  x
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) )  e.  CC )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) )  e.  CC )
126, 11subcld 9719 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
13 2mulicn 10548 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
14 2muline0 10549 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
15 divcl 10000 . . . 4  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  e.  CC )
1613, 14, 15mp3an23 1306 . . 3  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  e.  CC )
1712, 16syl 16 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  e.  CC )
181, 17fmpti 5866 1  |-  sin : CC
--> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    =/= wne 2606   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   _ici 9284    x. cmul 9287    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   2c2 10371   expce 13347   sincsin 13349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-ico 11306  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355
This theorem is referenced by:  sincl  13410  pilem1  21916  resinf1o  21992  dvtan  28442  dvsinexp  29787  itgsinexplem1  29794
  Copyright terms: Public domain W3C validator