MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sineq0 Structured version   Unicode version

Theorem sineq0 23080
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 13939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
21eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0 ) )
3 ax-icn 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _i  e.  CC
4 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
53, 4mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 efcl 13900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
8 negicn 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u _i  e.  CC
9 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
108, 9mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 13900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
137, 12subcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
14 2mulicn 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
15 2muline0 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
16 diveq0 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  0  <->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1714, 15, 16mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
197, 12subeq0ad 9932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A
) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
202, 18, 193bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
21 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
22 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
23 mul12 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
243, 22, 23mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
2552timesd 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2624, 25eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2726fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
28 efadd 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
295, 5, 28syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
3027, 29eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )
31 efadd 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
325, 10, 31syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
333negidi 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( _i  +  -u _i )  =  0
3433oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A )  =  ( 0  x.  A )
35 adddir 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
363, 8, 35mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
37 mul02 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
3834, 36, 373eqtr3a 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) )  =  0 )
3938fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( exp `  0
) )
40 ef0 13908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( exp `  0 )  =  1
4139, 40syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4232, 41eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4330, 42eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  <-> 
( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1 ) )
44 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1 ) )
4543, 44syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4621, 45syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4720, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
48 abs1 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  1 )  =  1
4948eqeq2i 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1 )
50 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
51 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
52 mulre 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
5350, 51, 52mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
54 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
5522, 54mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
56 absefib 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5853, 57bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1  <->  A  e.  RR ) )
5949, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  A  e.  RR ) )
6047, 59sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
6160imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
62 pirp 23020 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR+
63 modval 11980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  =  ( A  -  (
pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
6461, 62, 63sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
65 picn 23018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
66 pire 23017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
67 pipos 23019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  pi
6866, 67gt0ne0ii 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  =/=  0
69 redivcl 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7066, 68, 69mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7161, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  RR )
7271flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
7372zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )
74 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
7565, 73, 74sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
76 negsub 9858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
7775, 76syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
78 mulcom 9567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
7965, 73, 78sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8079negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
81 mulneg1 9989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8273, 65, 81sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  =  -u ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8380, 82eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( -u ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8483oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8564, 77, 843eqtr2d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8685fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )
8786fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) ) )
8872znegcld 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
89 abssinper 23077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
9088, 89syldan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
91 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  A
)  =  0 )
9291fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  A ) )  =  ( abs `  0
) )
9387, 90, 923eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  0
) )
94 abs0 13200 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
9593, 94syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0 )
96 modcl 11982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
9761, 62, 96sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  e.  RR )
98 modlt 11988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  < 
pi )
9961, 62, 98sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  <  pi )
10097, 99jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
101100biantrurd 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) ) )
102 0re 9585 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
103 rexr 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
104 rexr 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
105 elioo2 11573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
106103, 104, 105syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  (
0 (,) pi )  <-> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
107102, 66, 106mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
108 3anan32 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi )  <-> 
( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
109107, 108bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
110101, 109syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
111 sinq12gt0 23066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
112 elioore 11562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
113112resincld 13960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
114 ltle 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
115102, 113, 114sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
117113, 116absidd 13336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
118111, 117breqtrrd 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
119110, 118syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) ) )
12097resincld 13960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
121120recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  CC )
122121abscld 13349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )
123 ltneOLD 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 )
1241233expia 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
125102, 122, 124sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
126119, 125syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
127126necon2bd 2669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
12895, 127mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) )
129 modge0 11987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( A  mod  pi ) )
13061, 62, 129sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  <_  ( A  mod  pi ) )
131 leloe 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
132102, 97, 131sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
133130, 132mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
134133ord 375 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -.  0  < 
( A  mod  pi )  ->  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
135128, 134mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  =  ( A  mod  pi ) )
136135eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  0 )
137 mod0 11985 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
13861, 62, 137sylancl 660 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
139136, 138mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  ZZ )
140 divcan1 10212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
14165, 68, 140mp3an23 1314 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
142141fveq2d 5852 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( sin `  A
) )
143 sinkpi 23078 . . 3  |-  ( ( A  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  0 )
144142, 143sylan9req 2516 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  A
)  =  0 )
145139, 144impbida 830 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   |_cfl 11908    mod cmo 11978   abscabs 13149   expce 13879   sincsin 13881   picpi 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
This theorem is referenced by:  coseq1  23081  efeq1  23082  cosne0  23083  logf1o2  23199  dvtanlem  30304  coseq0  31903  sinaover2ne0  31907  dirker2re  32113  dirkerdenne0  32114  dirkertrigeqlem3  32121  dirkertrigeq  32122  dirkercncflem1  32124  dirkercncflem2  32125  dirkercncflem4  32127  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232
  Copyright terms: Public domain W3C validator