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Theorem sineq0 22640
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
21eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0 ) )
3 ax-icn 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _i  e.  CC
4 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
53, 4mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 efcl 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
8 negicn 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u _i  e.  CC
9 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
108, 9mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
137, 12subcld 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
14 2mulicn 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
15 2muline0 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
16 diveq0 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  0  <->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1714, 15, 16mp3an23 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
197, 12subeq0ad 9929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A
) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
202, 18, 193bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
21 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
22 2cn 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
23 mul12 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
243, 22, 23mp3an12 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
2552timesd 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2624, 25eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2726fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
28 efadd 13680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
295, 5, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
3027, 29eqtr2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )
31 efadd 13680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
325, 10, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
333negidi 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( _i  +  -u _i )  =  0
3433oveq1i 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A )  =  ( 0  x.  A )
35 adddir 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
363, 8, 35mp3an12 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
37 mul02 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
3834, 36, 373eqtr3a 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) )  =  0 )
3938fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( exp `  0
) )
40 ef0 13677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( exp `  0 )  =  1
4139, 40syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4232, 41eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4330, 42eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  <-> 
( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1 ) )
44 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1 ) )
4543, 44syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4621, 45syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4720, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
48 abs1 13080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  1 )  =  1
4948eqeq2i 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1 )
50 2re 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
51 2ne0 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
52 mulre 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
5350, 51, 52mp3an23 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
54 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
5522, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
56 absefib 13783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5853, 57bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1  <->  A  e.  RR ) )
5949, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  A  e.  RR ) )
6047, 59sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
6160imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
62 pire 22578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
63 pipos 22580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
6462, 63elrpii 11212 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR+
65 modval 11954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  =  ( A  -  (
pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
6661, 64, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
67 picn 22579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
6862, 63gt0ne0ii 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  =/=  0
69 redivcl 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7062, 68, 69mp3an23 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7161, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  RR )
7271flcld 11892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
7372zcnd 10956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )
74 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
7567, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
76 negsub 9856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
7775, 76syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
78 mulcom 9567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
7967, 73, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8079negeqd 9803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
81 mulneg1 9982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8273, 67, 81sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  =  -u ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8380, 82eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( -u ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8483oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8566, 77, 843eqtr2d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8685fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )
8786fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) ) )
8872znegcld 10957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
89 abssinper 22637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
9088, 89syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
91 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  A
)  =  0 )
9291fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  A ) )  =  ( abs `  0
) )
9387, 90, 923eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  0
) )
94 abs0 13068 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
9593, 94syl6eq 2517 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0 )
96 modcl 11956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
9761, 64, 96sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  e.  RR )
98 modlt 11962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  < 
pi )
9961, 64, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  <  pi )
10097, 99jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
101100biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) ) )
102 0re 9585 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
103 rexr 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
104 rexr 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
105 elioo2 11559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
106103, 104, 105syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  (
0 (,) pi )  <-> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
107102, 62, 106mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
108 3anan32 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi )  <-> 
( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
109107, 108bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
110101, 109syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
111 sinq12gt0 22626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
112 elioore 11548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
113112resincld 13728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
114 ltle 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
115102, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
117113, 116absidd 13203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
118111, 117breqtrrd 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
119110, 118syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) ) )
12097resincld 13728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
121120recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  CC )
122121abscld 13216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )
123 ltneOLD 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 )
1241233expia 1193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
125102, 122, 124sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
126119, 125syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
127126necon2bd 2675 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
12895, 127mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) )
129 modge0 11961 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( A  mod  pi ) )
13061, 64, 129sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  <_  ( A  mod  pi ) )
131 leloe 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
132102, 97, 131sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
133130, 132mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
134133ord 377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -.  0  < 
( A  mod  pi )  ->  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
135128, 134mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  =  ( A  mod  pi ) )
136135eqcomd 2468 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  0 )
137 mod0 11959 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
13861, 64, 137sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
139136, 138mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  ZZ )
140 divcan1 10205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
14167, 68, 140mp3an23 1311 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
142141fveq2d 5861 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( sin `  A
) )
143 sinkpi 22638 . . 3  |-  ( ( A  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  0 )
144142, 143sylan9req 2522 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  A
)  =  0 )
145139, 144impbida 829 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   -ucneg 9795    / cdiv 10195   2c2 10574   ZZcz 10853   RR+crp 11209   (,)cioo 11518   |_cfl 11884    mod cmo 11952   abscabs 13017   expce 13648   sincsin 13650   picpi 13653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999
This theorem is referenced by:  coseq1  22641  efeq1  22642  cosne0  22643  logf1o2  22752  dvtanlem  29492  coseq0  31018  sinaover2ne0  31023  dirker2re  31211  dirkerdenne0  31212  dirkerval2  31213  dirkertrigeqlem3  31219  dirkertrigeq  31220  dirkercncflem1  31222  dirkercncflem2  31223  dirkercncflem4  31225  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330
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