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Theorem sineq0 22786
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 13734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
21eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0 ) )
3 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _i  e.  CC
4 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
53, 4mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 efcl 13696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
8 negicn 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u _i  e.  CC
9 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
108, 9mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 13696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
137, 12subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
14 2mulicn 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
15 2muline0 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
16 diveq0 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  0  <->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1714, 15, 16mp3an23 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
197, 12subeq0ad 9946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A
) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
202, 18, 193bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
21 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
22 2cn 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
23 mul12 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
243, 22, 23mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
2552timesd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2624, 25eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2726fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
28 efadd 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
295, 5, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
3027, 29eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )
31 efadd 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
325, 10, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
333negidi 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( _i  +  -u _i )  =  0
3433oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A )  =  ( 0  x.  A )
35 adddir 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
363, 8, 35mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
37 mul02 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
3834, 36, 373eqtr3a 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) )  =  0 )
3938fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( exp `  0
) )
40 ef0 13704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( exp `  0 )  =  1
4139, 40syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4232, 41eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4330, 42eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  <-> 
( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1 ) )
44 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1 ) )
4543, 44syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4621, 45syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4720, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
48 abs1 13109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  1 )  =  1
4948eqeq2i 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1 )
50 2re 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
51 2ne0 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
52 mulre 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
5350, 51, 52mp3an23 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
54 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
5522, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
56 absefib 13810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5853, 57bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1  <->  A  e.  RR ) )
5949, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  A  e.  RR ) )
6047, 59sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
6160imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
62 pirp 22726 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR+
63 modval 11977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  =  ( A  -  (
pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
6461, 62, 63sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
65 picn 22724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
66 pire 22723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
67 pipos 22725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  pi
6866, 67gt0ne0ii 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  =/=  0
69 redivcl 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7066, 68, 69mp3an23 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7161, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  RR )
7271flcld 11914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
7372zcnd 10975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )
74 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
7565, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
76 negsub 9872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
7775, 76syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
78 mulcom 9581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
7965, 73, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8079negeqd 9819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
81 mulneg1 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8273, 65, 81sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  =  -u ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8380, 82eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( -u ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8483oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8564, 77, 843eqtr2d 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8685fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )
8786fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) ) )
8872znegcld 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
89 abssinper 22783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
9088, 89syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
91 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  A
)  =  0 )
9291fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  A ) )  =  ( abs `  0
) )
9387, 90, 923eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  0
) )
94 abs0 13097 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
9593, 94syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0 )
96 modcl 11979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
9761, 62, 96sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  e.  RR )
98 modlt 11985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  < 
pi )
9961, 62, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  <  pi )
10097, 99jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
101100biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) ) )
102 0re 9599 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
103 rexr 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
104 rexr 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
105 elioo2 11579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
106103, 104, 105syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  (
0 (,) pi )  <-> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
107102, 66, 106mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
108 3anan32 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi )  <-> 
( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
109107, 108bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
110101, 109syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
111 sinq12gt0 22772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
112 elioore 11568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
113112resincld 13755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
114 ltle 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
115102, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
117113, 116absidd 13233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
118111, 117breqtrrd 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
119110, 118syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) ) )
12097resincld 13755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
121120recnd 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  CC )
122121abscld 13246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )
123 ltneOLD 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 )
1241233expia 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
125102, 122, 124sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
126119, 125syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
127126necon2bd 2658 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
12895, 127mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) )
129 modge0 11984 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( A  mod  pi ) )
13061, 62, 129sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  <_  ( A  mod  pi ) )
131 leloe 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
132102, 97, 131sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
133130, 132mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
134133ord 377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -.  0  < 
( A  mod  pi )  ->  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
135128, 134mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  =  ( A  mod  pi ) )
136135eqcomd 2451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  0 )
137 mod0 11982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
13861, 62, 137sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
139136, 138mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  ZZ )
140 divcan1 10222 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
14165, 68, 140mp3an23 1317 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
142141fveq2d 5860 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( sin `  A
) )
143 sinkpi 22784 . . 3  |-  ( ( A  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  0 )
144142, 143sylan9req 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  A
)  =  0 )
145139, 144impbida 832 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497    + caddc 9498    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10212   2c2 10591   ZZcz 10870   RR+crp 11229   (,)cioo 11538   |_cfl 11906    mod cmo 11975   abscabs 13046   expce 13675   sincsin 13677   picpi 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144
This theorem is referenced by:  coseq1  22787  efeq1  22788  cosne0  22789  logf1o2  22903  dvtanlem  30039  coseq0  31571  sinaover2ne0  31575  dirker2re  31763  dirkerdenne0  31764  dirkertrigeqlem3  31771  dirkertrigeq  31772  dirkercncflem1  31774  dirkercncflem2  31775  dirkercncflem4  31777  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882
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