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Theorem sineq0 22099
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
21eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0 ) )
3 ax-icn 9442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _i  e.  CC
4 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
53, 4mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 efcl 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
8 negicn 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u _i  e.  CC
9 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
108, 9mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
137, 12subcld 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
14 2mulicn 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
15 2muline0 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
16 diveq0 10105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  0  <->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1714, 15, 16mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  0  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0 ) )
197, 12subeq0ad 9830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A
) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
202, 18, 193bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
21 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
22 2cn 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
23 mul12 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
243, 22, 23mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
2552timesd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2624, 25eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
2726fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
28 efadd 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
295, 5, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
3027, 29eqtr2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )
31 efadd 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
325, 10, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
333negidi 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( _i  +  -u _i )  =  0
3433oveq1i 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A )  =  ( 0  x.  A )
35 adddir 9478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
363, 8, 35mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  +  -u _i )  x.  A
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )
37 mul02 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
3834, 36, 373eqtr3a 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  A ) )  =  0 )
3938fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( exp `  0
) )
40 ef0 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( exp `  0 )  =  1
4139, 40syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  A )  +  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4232, 41eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  1 )
4330, 42eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  <-> 
( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1 ) )
44 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A ) ) )  =  1  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1 ) )
4543, 44syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4621, 45syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
4720, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  -> 
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
) ) )
48 abs1 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  1 )  =  1
4948eqeq2i 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1 )
50 2re 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
51 2ne0 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
52 mulre 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
5350, 51, 52mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( 2  x.  A )  e.  RR ) )
54 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
5522, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
56 absefib 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  1 ) )
5853, 57bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  1  <->  A  e.  RR ) )
5949, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( abs `  1
)  <->  A  e.  RR ) )
6047, 59sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
6160imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
62 pire 22037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
63 pipos 22039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
6462, 63elrpii 11095 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR+
65 modval 11811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  =  ( A  -  (
pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
6661, 64, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
67 picn 22038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
6862, 63gt0ne0ii 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  =/=  0
69 redivcl 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7062, 68, 69mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  pi )  e.  RR )
7161, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  RR )
7271flcld 11749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
7372zcnd 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )
74 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
7567, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )
76 negsub 9758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
7775, 76syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  -  ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) ) )
78 mulcom 9469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
7967, 73, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8079negeqd 9705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
81 mulneg1 9882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  = 
-u ( ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8273, 67, 81sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi )  =  -u ( ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8380, 82eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) )  =  ( -u ( |_
`  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) )
8483oveq2d 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  +  -u ( pi  x.  ( |_ `  ( A  /  pi ) ) ) )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8566, 77, 843eqtr2d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) )
8685fveq2d 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )
8786fveq2d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) ) )
8872znegcld 10850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )
89 abssinper 22096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  e.  ZZ )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
9088, 89syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  +  ( -u ( |_ `  ( A  /  pi ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
91 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  A
)  =  0 )
9291fveq2d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  A ) )  =  ( abs `  0
) )
9387, 90, 923eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( abs `  0
) )
94 abs0 12876 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
9593, 94syl6eq 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0 )
96 modcl 11813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
9761, 64, 96sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  e.  RR )
98 modlt 11819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( A  mod  pi )  < 
pi )
9961, 64, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  <  pi )
10097, 99jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
101100biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) ) )
102 0re 9487 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
103 rexr 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
104 rexr 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
105 elioo2 11442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
106103, 104, 105syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  mod  pi )  e.  (
0 (,) pi )  <-> 
( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) ) )
107102, 62, 106mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  < 
( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi ) )
108 3anan32 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( A  mod  pi )  /\  ( A  mod  pi )  <  pi )  <-> 
( ( ( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
109107, 108bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( A  mod  pi )  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  < 
pi )  /\  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
110101, 109syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  <->  ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
111 sinq12gt0 22085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
112 elioore 11431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( A  mod  pi )  e.  RR )
113112resincld 13529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
114 ltle 9564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
115102, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  mod  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
117113, 116absidd 13011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )
118111, 117breqtrrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  pi )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )
119110, 118syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) ) )
12097resincld 13529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  RR )
121120recnd 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( sin `  ( A  mod  pi ) )  e.  CC )
122121abscld 13024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )
123 ltneOLD 9573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 )
1241233expia 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
125102, 122, 124sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
126119, 125syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  -> 
( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =/=  0 ) )
127126necon2bd 2663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( abs `  ( sin `  ( A  mod  pi ) ) )  =  0  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) ) )
12895, 127mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  ->  -.  0  <  ( A  mod  pi ) )
129 modge0 11818 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( A  mod  pi ) )
13061, 64, 129sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  <_  ( A  mod  pi ) )
131 leloe 9562 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  mod  pi )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
132102, 97, 131sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <_  ( A  mod  pi )  <->  ( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) ) )
133130, 132mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( 0  <  ( A  mod  pi )  \/  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
134133ord 377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( -.  0  < 
( A  mod  pi )  ->  0  =  ( A  mod  pi ) ) )
135128, 134mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
0  =  ( A  mod  pi ) )
136135eqcomd 2459 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  mod  pi )  =  0 )
137 mod0 11816 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
13861, 64, 137sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( ( A  mod  pi )  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
139136, 138mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sin `  A )  =  0 )  -> 
( A  /  pi )  e.  ZZ )
140 divcan1 10104 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
14167, 68, 140mp3an23 1307 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  pi )  x.  pi )  =  A )
142141fveq2d 5793 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( sin `  A
) )
143 sinkpi 22097 . . 3  |-  ( ( A  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( ( A  /  pi )  x.  pi ) )  =  0 )
144142, 143sylan9req 2513 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  A
)  =  0 )
145139, 144impbida 828 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  =  0  <->  ( A  /  pi )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   _ici 9385    + caddc 9386    x. cmul 9388   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   -ucneg 9697    / cdiv 10094   2c2 10472   ZZcz 10747   RR+crp 11092   (,)cioo 11401   |_cfl 11741    mod cmo 11809   abscabs 12825   expce 13449   sincsin 13451   picpi 13454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458
This theorem is referenced by:  coseq1  22100  efeq1  22101  cosne0  22102  logf1o2  22211  dvtanlem  28579
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