Theorem sincossq 8726

Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded.

Assertion

Ref	Expression
sincossq	|- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 6525	. . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
2		cosadd 8719	. . 3 |- ((A e. CC /\ -uA e. CC) -> (cos` (A + -uA)) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
3	1, 2	mpdan 768	. 2 |- (A e. CC -> (cos` (A + -uA)) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
4		negid 6536	. . . 4 |- (A e. CC -> (A + -uA) = 0)
5	4	fveq2d 4685	. . 3 |- (A e. CC -> (cos` (A + -uA)) = (cos` 0))
6		cos0 8711	. . 3 |- (cos` 0) = 1
7	5, 6	syl6eq 1944	. 2 |- (A e. CC -> (cos` (A + -uA)) = 1)
8		sincl 8696	. . . . 5 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
9		sqcl 7856	. . . . 5 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
10	8, 9	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
11		coscl 8697	. . . . 5 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
12		sqcl 7856	. . . . 5 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
13	11, 12	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
14		addcom 6458	. . . 4 |- ((((sin` A)^2) e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)))
15	10, 13, 14	syl11anc 524	. . 3 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)))
16		sqval 7854	. . . . . 6 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` A)))
17	11, 16	syl 12	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` A)))
18		cosneg 8708	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (cos` -uA) = (cos` A))
19	18	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((cos` A) x. (cos` -uA)) = ((cos` A) x. (cos` A)))
20	17, 19	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` -uA)))
21		sqval 7854	. . . . . 6 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) = ((sin` A) x. (sin` A)))
22	8, 21	syl 12	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) = ((sin` A) x. (sin` A)))
23		sinneg 8707	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (sin` -uA) = -u(sin` A))
24	23	negeqd 6516	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u(sin` -uA) = -u-u(sin` A))
25		negneg 6553	. . . . . . . 8 |- ((sin` A) e. CC -> -u-u(sin` A) = (sin` A))
26	8, 25	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u-u(sin` A) = (sin` A))
27	24, 26	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (A e. CC -> -u(sin` -uA) = (sin` A))
28	27	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. -u(sin` -uA)) = ((sin` A) x. (sin` A)))
29		sincl 8696	. . . . . . 7 |- (-uA e. CC -> (sin` -uA) e. CC)
30	1, 29	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (sin` -uA) e. CC)
31		mulneg2 6616	. . . . . 6 |- (((sin` A) e. CC /\ (sin` -uA) e. CC) -> ((sin` A) x. -u(sin` -uA)) = -u((sin` A) x. (sin` -uA)))
32	8, 30, 31	syl11anc 524	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. -u(sin` -uA)) = -u((sin` A) x. (sin` -uA)))
33	22, 28, 32	3eqtr2d 1932	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) = -u((sin` A) x. (sin` -uA)))
34	20, 33	opreq12d 4900	. . 3 |- (A e. CC -> (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) + -u((sin` A) x. (sin` -uA))))
35		coscl 8697	. . . . . 6 |- (-uA e. CC -> (cos` -uA) e. CC)
36	1, 35	syl 12	. . . . 5 |- (A e. CC -> (cos` -uA) e. CC)
37		mulcl 6456	. . . . 5 |- (((cos` A) e. CC /\ (cos` -uA) e. CC) -> ((cos` A) x. (cos` -uA)) e. CC)
38	11, 36, 37	syl11anc 524	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A) x. (cos` -uA)) e. CC)
39		mulcl 6456	. . . . 5 |- (((sin` A) e. CC /\ (sin` -uA) e. CC) -> ((sin` A) x. (sin` -uA)) e. CC)
40	8, 30, 39	syl11anc 524	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. (sin` -uA)) e. CC)
41		negsub 6540	. . . 4 |- ((((cos` A) x. (cos` -uA)) e. CC /\ ((sin` A) x. (sin` -uA)) e. CC) -> (((cos` A) x. (cos` -uA)) + -u((sin` A) x. (sin` -uA))) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
42	38, 40, 41	syl11anc 524	. . 3 |- (A e. CC -> (((cos` A) x. (cos` -uA)) + -u((sin` A) x. (sin` -uA))) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
43	15, 34, 42	3eqtrrd 1930	. 2 |- (A e. CC -> (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))) = (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)))
44	3, 7, 43	3eqtr3rd 1936	1 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  2c2 7145  ^cexp 7811  sincsin 8557  cosccos 8558

This theorem is referenced by:  cos2t 8728  cos2tsin 8729  cos2OLD 8730  sinbnd 8731  cosbnd 8732  absefi 8748  sinhalfpilem 10028  sincos6thpi 10061  efifolem2 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563

Copyright terms: Public domain