MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincossq Structured version   Unicode version

Theorem sincossq 13784
Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 9830 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 cosadd 13773 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
31, 2mpdan 668 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
4 negid 9876 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5875 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  +  -u A ) )  =  ( cos `  0
) )
6 cos0 13758 . . 3  |-  ( cos `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2524 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
8 sincl 13734 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
98sqcld 12286 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
10 coscl 13735 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
1110sqcld 12286 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
129, 11addcomd 9791 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
1310sqvald 12285 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  A ) ) )
14 cosneg 13755 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
1514oveq2d 6310 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  A ) ) )
1613, 15eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u A ) ) )
178sqvald 12285 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  A ) ) )
18 sinneg 13754 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
1918negeqd 9824 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( sin `  -u A )  = 
-u -u ( sin `  A
) )
208negnegd 9931 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u ( sin `  A )  =  ( sin `  A
) )
2119, 20eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( sin `  -u A )  =  ( sin `  A
) )
2221oveq2d 6310 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  -u A ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  A ) ) )
2317, 22eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  =  ( ( sin `  A )  x.  -u ( sin `  -u A ) ) )
241sincld 13738 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  e.  CC )
258, 24mulneg2d 10020 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  -u A ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) )
2623, 25eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) )
2716, 26oveq12d 6312 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
281coscld 13739 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  e.  CC )
2910, 28mulcld 9626 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  e.  CC )
308, 24mulcld 9626 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u A ) )  e.  CC )
3129, 30negsubd 9946 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
3212, 27, 313eqtrrd 2513 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
333, 7, 323eqtr3rd 2517 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505    x. cmul 9507    - cmin 9815   -ucneg 9816   2c2 10595   ^cexp 12144   sincsin 13673   cosccos 13674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-ico 11545  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680
This theorem is referenced by:  cos2t  13786  cos2tsin  13787  sinbnd  13788  cosbnd  13789  absefi  13804  sinhalfpilem  22699  sincos6thpi  22751  efif1olem4  22775  heron  23012  asinsin  23066  atandmtan  23094  basellem8  23204  sin2h  29940  tan2h  29942  dvtan  29960  itgsinexp  31563  onetansqsecsq  32529  cotsqcscsq  32530
  Copyright terms: Public domain W3C validator