MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincosq4sgn 23186
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn  |-  ( A  e.  ( ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 10650 . . . . 5  |-  3  e.  RR
2 halfpire 23149 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
31, 2remulcli 9640 . . . 4  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR
43rexri 9676 . . 3  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e. 
RR*
5 2re 10646 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 pire 23143 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
75, 6remulcli 9640 . . . 4  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
87rexri 9676 . . 3  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
9 elioo2 11623 . . 3  |-  ( ( ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  < 
A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) ) ) )
104, 8, 9mp2an 670 . 2  |-  ( A  e.  ( ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  < 
A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) ) )
11 df-3 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1211oveq1i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
pi  /  2 ) )
13 2cn 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
14 ax-1cn 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
152recni 9638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1613, 14, 15adddiri 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( pi  /  2
) )  +  ( 1  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
176recni 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
18 2ne0 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
1917, 13, 18divcan2i 10328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2015mulid2i 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2119, 20oveq12i 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( 1  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  +  ( pi  /  2 ) )
2212, 16, 213eqtrri 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )
2322breq1i 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  +  ( pi 
/  2 ) )  <  A  <->  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  < 
A )
24 ltaddsub 10067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  +  ( pi  /  2
) )  <  A  <->  pi 
<  ( A  -  ( pi  /  2
) ) ) )
256, 2, 24mp3an12 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  +  ( pi  /  2 ) )  <  A  <->  pi  <  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
2623, 25syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  <  A  <->  pi  <  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
27 ltsubadd 10063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  <->  A  <  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( pi  / 
2 ) ) ) )
282, 3, 27mp3an23 1318 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  <->  A  <  ( ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) ) )
29 df-4 10637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =  ( 3  +  1 )
3029oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
pi  /  2 ) )
311recni 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
3231, 14, 15adddiri 9637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  +  ( 1  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
3320oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( 1  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  +  ( pi  /  2 ) )
3430, 32, 333eqtrri 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 4  x.  (
pi  /  2 ) )
35 4cn 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
36 2cnne0 10791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
37 div12 10270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( 4  x.  ( pi  /  2
) )  =  ( pi  x.  ( 4  /  2 ) ) )
3835, 17, 36, 37mp3an 1326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  x.  (
4  /  2 ) )
39 4d2e2 10733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  /  2 )  =  2
4039oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  x.  ( 4  / 
2 ) )  =  ( pi  x.  2 )
4117, 13mulcomi 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  x.  2 )  =  ( 2  x.  pi )
4240, 41eqtri 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  x.  ( 4  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  pi )
4338, 42eqtri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  pi )
4434, 43eqtri 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  pi )
4544breq2i 4403 . . . . . . . . 9  |-  ( A  <  ( ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  +  ( pi  /  2
) )  <->  A  <  ( 2  x.  pi ) )
4628, 45syl6rbb 262 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  ( 2  x.  pi )  <->  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
4726, 46anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( pi  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
48 resubcl 9919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
492, 48mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
506rexri 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR*
51 elioo2 11623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  ( pi
(,) ( 3  x.  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  pi  <  ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2
) )  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
5250, 4, 51mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  pi  <  ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2
) )  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
53 sincosq3sgn 23185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) )
5452, 53sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  pi  <  ( A  -  ( pi  /  2
) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  < 
( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) )
5549, 54syl3an1 1263 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  <  ( A  -  ( pi  /  2
) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  < 
( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) )
56553expib 1200 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
5747, 56sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
5849resincld 14087 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  RR )
5958lt0neg1d 10162 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  <->  0  <  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
6059anbi1d 703 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 )  <->  ( 0  <  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
6157, 60sylibd 214 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( 0  <  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
62 recn 9612 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
63 pncan3 9864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  A )
6415, 62, 63sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  A )
6564fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
6649recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
67 coshalfpip 23179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6965, 68eqtr3d 2445 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
7069breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( cos `  A )  <->  0  <  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
7164fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
72 sinhalfpip 23177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
7366, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
7471, 73eqtr3d 2445 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
7574breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <  0  <->  ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
7670, 75anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( cos `  A )  /\  ( sin `  A )  <  0 )  <->  ( 0  <  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
7761, 76sylibrd 234 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( 0  < 
( cos `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  0
) ) )
78773impib 1195 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  <  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) )  -> 
( 0  <  ( cos `  A )  /\  ( sin `  A )  <  0 ) )
7978ancomd 449 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  <  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) )  -> 
( ( sin `  A
)  <  0  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
8010, 79sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    < clt 9658    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   2c2 10626   3c3 10627   4c4 10628   (,)cioo 11582   sincsin 14008   cosccos 14009   picpi 14011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator