MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincosq3sgn 22626
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 22585 . . 3  |-  pi  e.  RR
2 3re 10605 . . . 4  |-  3  e.  RR
3 halfpire 22590 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
42, 3remulcli 9606 . . 3  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR
5 rexr 9635 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
6 rexr 9635 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR  ->  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
7 elioo2 11566 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . 3  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( pi (,) (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
91, 4, 8mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
10 pidiv2halves 22593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
1110breq1i 4454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  <  A  <->  pi  <  A )
12 ltaddsub 10022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  2
) )  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2
) ) ) )
133, 3, 12mp3an12 1314 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
1411, 13syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
pi  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
15 ltsubadd 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  <  pi  <->  A  <  ( pi  +  ( pi  /  2
) ) ) )
163, 1, 15mp3an23 1316 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi  <->  A  <  ( pi  +  ( pi 
/  2 ) ) ) )
17 df-3 10591 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1817oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
pi  /  2 ) )
19 2cn 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
20 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
213recni 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
2219, 20, 21adddiri 9603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( pi  /  2
) )  +  ( 1  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
231recni 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
24 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2523, 19, 24divcan2i 10283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2621mulid2i 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2725, 26oveq12i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( 1  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  +  ( pi  /  2 ) )
2818, 22, 273eqtrri 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  +  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )
2928breq2i 4455 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( pi  +  ( pi  /  2
) )  <->  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
3016, 29syl6rbb 262 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <->  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) )
3114, 30anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi ) ) )
32 resubcl 9879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
333, 32mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
34 sincosq2sgn 22625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) )
35 rexr 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
36 elioo2 11566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  ( ( pi  /  2 ) (,) pi )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) ) )
3735, 5, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  ( ( pi  /  2
) (,) pi )  <-> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi ) ) )
383, 1, 37mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) )
39 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 )  <->  ( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
4034, 38, 393imtr3i 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) )
4133, 40syl3an1 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) )
42413expib 1199 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
4331, 42sylbid 215 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
4433resincld 13735 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  RR )
4544lt0neg2d 10119 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
4645anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )  <->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
4743, 46sylibd 214 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
48 recn 9578 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
49 pncan3 9824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  A )
5021, 48, 49sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  A )
5150fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
5233recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
53 sinhalfpip 22618 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5551, 54eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5655breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <  0  <->  ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
5750fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
58 coshalfpip 22620 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5952, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6057, 59eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6160breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <  0  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
6256, 61anbi12d 710 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 )  <->  ( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) ) )
6347, 62sylibrd 234 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A )  <  0  /\  ( cos `  A
)  <  0 ) ) )
64633impib 1194 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
659, 64sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    < clt 9624    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   3c3 10582   (,)cioo 11525   sincsin 13657   cosccos 13658   picpi 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  22627
  Copyright terms: Public domain W3C validator