MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincosq3sgn 21967
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 21926 . . 3  |-  pi  e.  RR
2 3re 10400 . . . 4  |-  3  e.  RR
3 halfpire 21931 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
42, 3remulcli 9405 . . 3  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR
5 rexr 9434 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
6 rexr 9434 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR  ->  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
7 elioo2 11346 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . 3  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( pi (,) (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
91, 4, 8mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
10 pidiv2halves 21934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
1110breq1i 4304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  <  A  <->  pi  <  A )
12 ltaddsub 9818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  2
) )  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2
) ) ) )
133, 3, 12mp3an12 1304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
1411, 13syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
pi  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
15 ltsubadd 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  <  pi  <->  A  <  ( pi  +  ( pi  /  2
) ) ) )
163, 1, 15mp3an23 1306 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi  <->  A  <  ( pi  +  ( pi 
/  2 ) ) ) )
17 df-3 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1817oveq1i 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
pi  /  2 ) )
19 2cn 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
20 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
213recni 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
2219, 20, 21adddiri 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( pi  /  2
) )  +  ( 1  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
231recni 9403 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
24 2ne0 10419 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2523, 19, 24divcan2i 10079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2621mulid2i 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2725, 26oveq12i 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( 1  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  +  ( pi  /  2 ) )
2818, 22, 273eqtrri 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  +  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )
2928breq2i 4305 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( pi  +  ( pi  /  2
) )  <->  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
3016, 29syl6rbb 262 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <->  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) )
3114, 30anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi ) ) )
32 resubcl 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
333, 32mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
34 sincosq2sgn 21966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) )
35 rexr 9434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
36 elioo2 11346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  ( ( pi  /  2 ) (,) pi )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) ) )
3735, 5, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  ( ( pi  /  2
) (,) pi )  <-> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi ) ) )
383, 1, 37mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) )
39 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 )  <->  ( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
4034, 38, 393imtr3i 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) )
4133, 40syl3an1 1251 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) )
42413expib 1190 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
4331, 42sylbid 215 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
4433resincld 13432 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  RR )
4544lt0neg2d 9915 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
4645anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )  <->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
4743, 46sylibd 214 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
48 recn 9377 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
49 pncan3 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  A )
5021, 48, 49sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  A )
5150fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
5233recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
53 sinhalfpip 21959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5551, 54eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5655breq1d 4307 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <  0  <->  ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
5750fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
58 coshalfpip 21961 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5952, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6057, 59eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6160breq1d 4307 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <  0  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
6256, 61anbi12d 710 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 )  <->  ( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) ) )
6347, 62sylibrd 234 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A )  <  0  /\  ( cos `  A
)  <  0 ) ) )
64633impib 1185 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
659, 64sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   RR*cxr 9422    < clt 9423    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   2c2 10376   3c3 10377   (,)cioo 11305   sincsin 13354   cosccos 13355   picpi 13357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  21968
  Copyright terms: Public domain W3C validator