MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincosq3sgn 23397
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 23355 . . 3  |-  pi  e.  RR
2 3re 10634 . . . 4  |-  3  e.  RR
3 halfpire 23361 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
42, 3remulcli 9608 . . 3  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR
5 rexr 9637 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
6 rexr 9637 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR  ->  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
7 elioo2 11628 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
85, 6, 7syl2an 479 . . 3  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( pi (,) (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
91, 4, 8mp2an 676 . 2  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
10 pidiv2halves 23364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
1110breq1i 4373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  <  A  <->  pi  <  A )
12 ltaddsub 10039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  2
) )  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2
) ) ) )
133, 3, 12mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
1411, 13syl5bbr 262 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
pi  <  A  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
15 ltsubadd 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  <  pi  <->  A  <  ( pi  +  ( pi  /  2
) ) ) )
163, 1, 15mp3an23 1352 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi  <->  A  <  ( pi  +  ( pi 
/  2 ) ) ) )
17 df-3 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1817oveq1i 6259 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
pi  /  2 ) )
19 2cn 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
20 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
213recni 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
2219, 20, 21adddiri 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( pi  /  2
) )  +  ( 1  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
231recni 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
24 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2523, 19, 24divcan2i 10301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2621mulid2i 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2725, 26oveq12i 6261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( pi 
/  2 ) )  +  ( 1  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  +  ( pi  /  2 ) )
2818, 22, 273eqtrri 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  +  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )
2928breq2i 4374 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( pi  +  ( pi  /  2
) )  <->  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
3016, 29syl6rbb 265 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  ( 3  x.  ( pi  /  2
) )  <->  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) )
3114, 30anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi ) ) )
32 resubcl 9889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
333, 32mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
34 sincosq2sgn 23396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) )
35 rexr 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
36 elioo2 11628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  ( ( pi  /  2 ) (,) pi )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) ) )
3735, 5, 36syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  ( ( pi  /  2
) (,) pi )  <-> 
( ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi ) ) )
383, 1, 37mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
pi ) )
39 ancom 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 )  <->  ( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
4034, 38, 393imtr3i 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) )
4133, 40syl3an1 1297 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) )
42413expib 1208 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  pi )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
4331, 42sylbid 218 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
4433resincld 14140 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  RR )
4544lt0neg2d 10135 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
4645anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  0  <  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )  <->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
4743, 46sylibd 217 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  <  0 ) ) )
48 recn 9580 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
49 pncan3 9834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  A )
5021, 48, 49sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  A )
5150fveq2d 5829 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
5233recnd 9620 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
53 sinhalfpip 23389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5551, 54eqtr3d 2464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5655breq1d 4376 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <  0  <->  ( cos `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
5750fveq2d 5829 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
58 coshalfpip 23391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5952, 58syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6057, 59eqtr3d 2464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6160breq1d 4376 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <  0  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
6256, 61anbi12d 715 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 )  <->  ( ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0 ) ) )
6347, 62sylibrd 237 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A )  <  0  /\  ( cos `  A
)  <  0 ) ) )
64633impib 1203 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  <  A  /\  A  <  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
659, 64sylbi 198 1  |-  ( A  e.  ( pi (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( sin `  A
)  <  0  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    - cmin 9811   -ucneg 9812    / cdiv 10220   2c2 10610   3c3 10611   (,)cioo 11586   sincsin 14059   cosccos 14060   picpi 14062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  23398
  Copyright terms: Public domain W3C validator