MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq2sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincosq2sgn 23391
Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq2sgn  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )

Proof of Theorem sincosq2sgn
StepHypRef Expression
1 halfpire 23356 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2 pire 23350 . . 3  |-  pi  e.  RR
3 rexr 9632 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
4 rexr 9632 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
5 elioo2 11623 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( (
pi  /  2 ) (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
A  /\  A  <  pi ) ) )
63, 4, 5syl2an 479 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  e.  ( ( pi  /  2
) (,) pi )  <-> 
( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  A  /\  A  <  pi ) ) )
71, 2, 6mp2an 676 . 2  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
A  /\  A  <  pi ) )
8 resubcl 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
91, 8mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
10 0xr 9633 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
111rexri 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
12 elioo2 11623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
1310, 11, 12mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( pi  /  2
) ) )
14 sincosq1sgn 23390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
1513, 14sylbir 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( A  -  ( pi  /  2
) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  < 
( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
169, 15syl3an1 1297 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  ( A  -  ( pi  /  2
) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  < 
( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
17163expib 1208 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) ) ) ) )
18 0re 9589 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
19 ltsub13 10041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  0 ) ) )
2018, 1, 19mp3an13 1351 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  0 ) ) )
21 recn 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2221subid1d 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  0 )  =  A )
2322breq2d 4373 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( A  -  0 )  <->  ( pi  /  2 )  <  A
) )
2420, 23bitrd 256 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  <->  ( pi  /  2 )  <  A
) )
25 ltsubadd 10030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( pi  /  2
)  <->  A  <  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) ) ) )
261, 1, 25mp3an23 1352 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 )  <->  A  <  ( ( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) ) ) )
27 pidiv2halves 23359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2827breq2i 4369 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  2
) )  <->  A  <  pi )
2926, 28syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 )  <->  A  <  pi ) )
3024, 29anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  pi ) ) )
319resincld 14135 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  RR )
3231lt0neg2d 10130 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
3332anbi1d 709 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )  <->  ( -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3417, 30, 333imtr3d 270 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) ) )
351recni 9601 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
36 pncan3 9829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  A )
3735, 21, 36sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  A )
3837fveq2d 5824 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
399recnd 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
40 coshalfpip 23386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4238, 41eqtr3d 2459 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4342breq1d 4371 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <  0  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
4437fveq2d 5824 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
45 sinhalfpip 23384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4639, 45syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4744, 46eqtr3d 2459 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4847breq2d 4373 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  A )  <->  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
4943, 48anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  A
) )  <->  ( -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) ) )
5034, 49sylibrd 237 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( ( cos `  A )  <  0  /\  0  <  ( sin `  A ) ) ) )
51503impib 1203 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  A  /\  A  <  pi )  -> 
( ( cos `  A
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  A
) ) )
5251ancomd 452 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  A  /\  A  <  pi )  -> 
( 0  <  ( sin `  A )  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
537, 52sylbi 198 1  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4361   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483   RRcr 9484   0cc0 9485    + caddc 9488   RR*cxr 9620    < clt 9621    - cmin 9806   -ucneg 9807    / cdiv 10215   2c2 10605   (,)cioo 11581   sincsin 14054   cosccos 14055   picpi 14057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563  ax-addf 9564  ax-mulf 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7473  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xneg 11355  df-xadd 11356  df-xmul 11357  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-fl 11973  df-seq 12159  df-exp 12218  df-fac 12405  df-bc 12433  df-hash 12461  df-shft 13069  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-limsup 13464  df-clim 13490  df-rlim 13491  df-sum 13691  df-ef 14059  df-sin 14061  df-cos 14062  df-pi 14064  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-starv 15143  df-sca 15144  df-vsca 15145  df-ip 15146  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-unif 15151  df-hom 15152  df-cco 15153  df-rest 15259  df-topn 15260  df-0g 15278  df-gsum 15279  df-topgen 15280  df-pt 15281  df-prds 15284  df-xrs 15338  df-qtop 15344  df-imas 15345  df-xps 15348  df-mre 15430  df-mrc 15431  df-acs 15433  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-submnd 16521  df-mulg 16614  df-cntz 16909  df-cmn 17370  df-psmet 18900  df-xmet 18901  df-met 18902  df-bl 18903  df-mopn 18904  df-fbas 18905  df-fg 18906  df-cnfld 18909  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-ntr 19972  df-cls 19973  df-nei 20051  df-lp 20089  df-perf 20090  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-haus 20268  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-fil 20798  df-fm 20890  df-flim 20891  df-flf 20892  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cncf 21847  df-limc 22758  df-dv 22759
This theorem is referenced by:  sincosq3sgn  23392  coseq00topi  23394
  Copyright terms: Public domain W3C validator