MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq2sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincosq2sgn 22618
Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq2sgn  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )

Proof of Theorem sincosq2sgn
StepHypRef Expression
1 halfpire 22583 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2 pire 22578 . . 3  |-  pi  e.  RR
3 rexr 9628 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
4 rexr 9628 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
5 elioo2 11559 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( (
pi  /  2 ) (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
A  /\  A  <  pi ) ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  e.  ( ( pi  /  2
) (,) pi )  <-> 
( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  A  /\  A  <  pi ) ) )
71, 2, 6mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
A  /\  A  <  pi ) )
8 resubcl 9872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
91, 8mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
10 0xr 9629 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
111, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
12 elioo2 11559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  < 
( A  -  (
pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( pi  /  2
) ) )
14 sincosq1sgn 22617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
1513, 14sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( A  -  ( pi  /  2
) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  < 
( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
169, 15syl3an1 1256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  ( A  -  ( pi  /  2
) )  /\  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  < 
( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
17163expib 1194 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) ) ) ) )
18 0re 9585 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
19 ltsub13 10022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  0 ) ) )
2018, 1, 19mp3an13 1310 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  <->  ( pi  /  2 )  <  ( A  -  0 ) ) )
21 recn 9571 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2221subid1d 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  0 )  =  A )
2322breq2d 4452 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( A  -  0 )  <->  ( pi  /  2 )  <  A
) )
2420, 23bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  <->  ( pi  /  2 )  <  A
) )
25 ltsubadd 10011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
( pi  /  2
)  <->  A  <  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) ) ) )
261, 1, 25mp3an23 1311 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 )  <->  A  <  ( ( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) ) ) )
27 pidiv2halves 22586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2827breq2i 4448 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  2
) )  <->  A  <  pi )
2926, 28syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 )  <->  A  <  pi ) )
3024, 29anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  /\  ( A  -  (
pi  /  2 ) )  <  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  pi ) ) )
319resincld 13728 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  RR )
3231lt0neg2d 10112 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
3332anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )  <->  ( -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3417, 30, 333imtr3d 267 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) ) )
351recni 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
36 pncan3 9817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  ( A  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  A )
3735, 21, 36sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  A )
3837fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
399recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
40 coshalfpip 22613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4238, 41eqtr3d 2503 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  = 
-u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4342breq1d 4450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <  0  <->  -u ( sin `  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  0
) )
4437fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
45 sinhalfpip 22611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4639, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( A  -  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4744, 46eqtr3d 2503 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
4847breq2d 4452 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  A )  <->  0  <  ( cos `  ( A  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
4943, 48anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  A
) )  <->  ( -u ( sin `  ( A  -  ( pi  /  2
) ) )  <  0  /\  0  < 
( cos `  ( A  -  ( pi  /  2 ) ) ) ) ) )
5034, 49sylibrd 234 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( ( cos `  A )  <  0  /\  0  <  ( sin `  A ) ) ) )
51503impib 1189 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  A  /\  A  <  pi )  -> 
( ( cos `  A
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  A
) ) )
5251ancomd 451 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  <  A  /\  A  <  pi )  -> 
( 0  <  ( sin `  A )  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
537, 52sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  ( cos `  A )  <  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484   RR*cxr 9616    < clt 9617    - cmin 9794   -ucneg 9795    / cdiv 10195   2c2 10574   (,)cioo 11518   sincsin 13650   cosccos 13651   picpi 13653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999
This theorem is referenced by:  sincosq3sgn  22619  coseq00topi  22621
  Copyright terms: Public domain W3C validator