MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos6thpi 23034
Description: The sine and cosine of  pi  /  6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 10627 . . 3  |-  2  e.  CC
2 pire 22977 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
3 6re 10637 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
4 6pos 10655 . . . . . . 7  |-  0  <  6
53, 4gt0ne0ii 10110 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
62, 3, 5redivcli 10332 . . . . 5  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
76recni 9625 . . . 4  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
8 sincl 13873 . . . 4  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  e.  CC )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
10 2ne0 10649 . . 3  |-  2  =/=  0
11 recoscl 13888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  e.  RR )
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  RR
1312recni 9625 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
141, 9, 13mulassi 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
15 sin2t 13924 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  6
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  6 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) ) ) )
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
1714, 16eqtr4i 2489 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
18 3cn 10631 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
19 3ne0 10651 . . . . . . . . . 10  |-  3  =/=  0
201, 18, 19divcli 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
2118, 19reccli 10295 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
22 df-3 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2322oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
2418, 19dividi 10298 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  3 )  =  1
25 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
261, 25, 18, 19divdiri 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
2723, 24, 263eqtr3ri 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
28 sincosq1eq 23031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
2920, 21, 27, 28mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
30 picn 22978 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
32 3t2e6 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3332oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  6
)
343recni 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
351, 30, 34, 5divassi 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  6 )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3631, 33, 353eqtri 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3736fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3829, 37eqtr3i 2488 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
4030mulid2i 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140, 32oveq12i 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4239, 41eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4342fveq2i 5875 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4438, 43eqtr3i 2488 . . . . . 6  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4517, 44eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4613mulid2i 9616 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4745, 46eqtr4i 2489 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
481, 9mulcli 9618 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  e.  CC
49 pipos 22979 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
502, 3, 49, 4divgt0ii 10483 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( pi  /  6
)
51 2lt6 10736 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  6
52 2pos 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
53 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
5453, 3, 23pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
55 ltdiv2OLD 10451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  /\  ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  / 
6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5752, 4, 49, 56mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) )
5851, 57mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  < 
( pi  /  2
)
59 0re 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
602, 53, 10redivcli 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
61 rexr 9656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
62 rexr 9656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
63 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( pi  /  6
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6461, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  6 )  e.  RR  /\  0  < 
( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6559, 60, 64mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
666, 50, 58, 65mpbir3an 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )
67 sincosq1sgn 23017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  6
) )  /\  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  /\  0  < 
( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
6968simpri 462 . . . . . . 7  |-  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
7012, 69gt0ne0ii 10110 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =/=  0
7113, 70pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 )
72 mulcan2 10208 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 ) )
7348, 25, 71, 72mp3an 1324 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7447, 73mpbi 208 . . 3  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1
751, 9, 10, 74mvllmuli 10398 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
76 3re 10630 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
77 3pos 10650 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
7876, 77sqrtpclii 13227 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
7978recni 9625 . . . . . 6  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
8079, 1, 10sqdivi 12255 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  3 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )
8159, 76, 77ltleii 9724 . . . . . . 7  |-  0  <_  3
8276sqsqrti 13220 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  3  ->  (
( sqr `  3
) ^ 2 )  =  3 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  3 ) ^ 2 )  =  3
84 sq2 12267 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8583, 84oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 3  /  4
)
8680, 85eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
8786fveq2i 5875 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4 ) )
8876sqrtge0i 13221 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  3  ->  0  <_  ( sqr `  3
) )
8981, 88ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( sqr `  3
)
9078, 53divge0i 10475 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( sqr `  3 )  /\  0  <  2 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9189, 52, 90mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
9278, 53, 10redivcli 10332 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  3 )  /  2 )  e.  RR
9392sqrtsqi 13219 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  ->  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9491, 93ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
95 4cn 10634 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
96 4ne0 10653 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9795, 96dividi 10298 . . . . . . 7  |-  ( 4  /  4 )  =  1
9897oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  4 ) )
9995, 96pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
100 divsubdir 10261 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
4 )  =  ( ( 4  /  4
)  -  ( 1  /  4 ) ) )
10195, 25, 99, 100mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  -  (
1  /  4 ) )
102 3p1e4 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  1 )  =  4
10395, 25, 18subadd2i 9927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
104102, 103mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  1 )  =  3
105104oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
106101, 105eqtr3i 2488 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
10795, 96reccli 10295 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
10813sqcli 12251 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  e.  CC
10975oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )
1101, 10sqrecii 12253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
2 ^ 2 ) )
11184oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 1  /  4
)
112109, 110, 1113eqtri 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  /  4
)
113112oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  4
)  +  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 ) )
114 sincossq 13923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
1157, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
116113, 115eqtr3i 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
11725, 107, 108, 116subaddrii 9928 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )
11898, 106, 1173eqtr3ri 2495 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
119118fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4
) )
12059, 12, 69ltleii 9724 . . . . 5  |-  0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
12112sqrtsqi 13219 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )  ->  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
122120, 121ax-mp 5 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) )
123119, 122eqtr3i 2488 . . 3  |-  ( sqr `  ( 3  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
12487, 94, 1233eqtr3ri 2495 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
12575, 124pm3.2i 455 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   6c6 10610   (,)cioo 11554   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  23035  1cubrlem  23298
  Copyright terms: Public domain W3C validator