MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos6thpi 23412
Description: The sine and cosine of  pi  /  6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 10631 . . 3  |-  2  e.  CC
2 pire 23355 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
3 6re 10641 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
4 6pos 10659 . . . . . . 7  |-  0  <  6
53, 4gt0ne0ii 10101 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
62, 3, 5redivcli 10325 . . . . 5  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
76recni 9606 . . . 4  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
8 sincl 14123 . . . 4  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  e.  CC )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
10 2ne0 10653 . . 3  |-  2  =/=  0
11 recoscl 14138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  e.  RR )
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  RR
1312recni 9606 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
141, 9, 13mulassi 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
15 sin2t 14174 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  6
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  6 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) ) ) )
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
1714, 16eqtr4i 2453 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
18 3cn 10635 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
19 3ne0 10655 . . . . . . . . . 10  |-  3  =/=  0
201, 18, 19divcli 10300 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
2118, 19reccli 10288 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
22 df-3 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2322oveq1i 6259 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
2418, 19dividi 10291 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  3 )  =  1
25 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
261, 25, 18, 19divdiri 10315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
2723, 24, 263eqtr3ri 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
28 sincosq1eq 23409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
2920, 21, 27, 28mp3an 1360 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
30 picn 23356 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
32 3t2e6 10712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3332oveq2i 6260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  6
)
34 6cn 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
351, 30, 34, 5divassi 10314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  6 )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3631, 33, 353eqtri 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3736fveq2i 5828 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3829, 37eqtr3i 2452 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
4030mulid2i 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140, 32oveq12i 6261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4239, 41eqtri 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4342fveq2i 5828 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4438, 43eqtr3i 2452 . . . . . 6  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4517, 44eqtri 2450 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4613mulid2i 9597 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4745, 46eqtr4i 2453 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
481, 9mulcli 9599 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  e.  CC
49 pipos 23357 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
502, 3, 49, 4divgt0ii 10475 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( pi  /  6
)
51 2lt6 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  6
52 2re 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
53 2pos 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
5452, 53pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
553, 4pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 )
562, 49pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi )
57 ltdiv2 10443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 )  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  / 
6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5854, 55, 56, 57mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) )
5951, 58mpbi 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  < 
( pi  /  2
)
60 0re 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
61 halfpire 23361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
62 rexr 9637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
63 rexr 9637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
64 elioo2 11628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( pi  /  6
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6562, 63, 64syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  6 )  e.  RR  /\  0  < 
( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6660, 61, 65mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
676, 50, 59, 66mpbir3an 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )
68 sincosq1sgn 23395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  6
) )  /\  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  /\  0  < 
( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
7069simpri 463 . . . . . . 7  |-  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
7112, 70gt0ne0ii 10101 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =/=  0
7213, 71pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 )
73 mulcan2 10201 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 ) )
7448, 25, 72, 73mp3an 1360 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7547, 74mpbi 211 . . 3  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1
761, 9, 10, 75mvllmuli 10391 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
77 3re 10634 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
78 3pos 10654 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
7977, 78sqrtpclii 13389 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
8079recni 9606 . . . . . 6  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
8180, 1, 10sqdivi 12309 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  3 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )
8260, 77, 78ltleii 9708 . . . . . . 7  |-  0  <_  3
8377sqsqrti 13382 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  3  ->  (
( sqr `  3
) ^ 2 )  =  3 )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  3 ) ^ 2 )  =  3
85 sq2 12321 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8684, 85oveq12i 6261 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 3  /  4
)
8781, 86eqtri 2450 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
8887fveq2i 5828 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4 ) )
8977sqrtge0i 13383 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  3  ->  0  <_  ( sqr `  3
) )
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( sqr `  3
)
9179, 52divge0i 10467 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( sqr `  3 )  /\  0  <  2 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9290, 53, 91mp2an 676 . . . 4  |-  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
9379, 52, 10redivcli 10325 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  3 )  /  2 )  e.  RR
9493sqrtsqi 13381 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  ->  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9592, 94ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
96 4cn 10638 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
97 4ne0 10657 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9896, 97dividi 10291 . . . . . . 7  |-  ( 4  /  4 )  =  1
9998oveq1i 6259 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  4 ) )
10096, 97pm3.2i 456 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
101 divsubdir 10254 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
4 )  =  ( ( 4  /  4
)  -  ( 1  /  4 ) ) )
10296, 25, 100, 101mp3an 1360 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  -  (
1  /  4 ) )
103 3p1e4 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  1 )  =  4
10496, 25, 18subadd2i 9914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
105103, 104mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  1 )  =  3
106105oveq1i 6259 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
107102, 106eqtr3i 2452 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
10896, 97reccli 10288 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
10913sqcli 12305 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  e.  CC
11076oveq1i 6259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )
1111, 10sqrecii 12307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
2 ^ 2 ) )
11285oveq2i 6260 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 1  /  4
)
113110, 111, 1123eqtri 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  /  4
)
114113oveq1i 6259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  4
)  +  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 ) )
115 sincossq 14173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
1167, 115ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
117114, 116eqtr3i 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
11825, 108, 109, 117subaddrii 9915 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )
11999, 107, 1183eqtr3ri 2459 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
120119fveq2i 5828 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4
) )
12160, 12, 70ltleii 9708 . . . . 5  |-  0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
12212sqrtsqi 13381 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )  ->  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
123121, 122ax-mp 5 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) )
124120, 123eqtr3i 2452 . . 3  |-  ( sqr `  ( 3  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
12588, 95, 1243eqtr3ri 2459 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
12676, 125pm3.2i 456 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811    / cdiv 10220   2c2 10610   3c3 10611   4c4 10612   6c6 10614   (,)cioo 11586   ^cexp 12222   sqrcsqrt 13240   sincsin 14059   cosccos 14060   picpi 14062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  23413  1cubrlem  23709  pigt3  31845
  Copyright terms: Public domain W3C validator