MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos6thpi 22641
Description: The sine and cosine of  pi  /  6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 10602 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2 pire 22585 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3 6re 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
4 6pos 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
53, 4gt0ne0ii 10085 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
62, 3, 5redivcli 10307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
76recni 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
8 sincl 13718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  e.  CC )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
10 recoscl 13733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  e.  RR )
116, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  RR
1211recni 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
131, 9, 12mulassi 9601 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
14 sin2t 13769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  6
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  6 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) ) ) )
157, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
1613, 15eqtr4i 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
17 3cn 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
18 3ne0 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
191, 17, 18divcli 10282 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
2017, 18reccli 10270 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
21 df-3 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2221oveq1i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
2317, 18dividi 10273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  1
24 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
251, 24, 17, 18divdiri 10297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
2622, 23, 253eqtr3ri 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
27 sincosq1eq 22638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
2819, 20, 26, 27mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
29 picn 22586 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
30 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
311, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 10300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
32 3t2e6 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3332oveq2i 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  6
)
343recni 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
351, 29, 34, 5divassi 10296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  6 )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3631, 33, 353eqtri 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3736fveq2i 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3828, 37eqtr3i 2498 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3924, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 10300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
4029mulid2i 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140, 32oveq12i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4239, 41eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4342fveq2i 5867 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4438, 43eqtr3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4516, 44eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4612mulid2i 9595 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4745, 46eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
481, 9mulcli 9597 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  e.  CC
49 pipos 22587 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
502, 3, 49, 4divgt0ii 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( pi  /  6
)
51 2lt6 10711 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  6
52 2pos 10623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
53 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5453, 3, 23pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
55 ltdiv2OLD 10427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  /\  ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  / 
6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5752, 4, 49, 56mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) )
5851, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  < 
( pi  /  2
)
59 0re 9592 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
602, 53, 30redivcli 10307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
61 rexr 9635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
62 rexr 9635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
63 elioo2 11566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( pi  /  6
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6461, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  6 )  e.  RR  /\  0  < 
( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6559, 60, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
666, 50, 58, 65mpbir3an 1178 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )
67 sincosq1sgn 22624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  6
) )  /\  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  /\  0  < 
( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
6968simpri 462 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
7011, 69gt0ne0ii 10085 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =/=  0
7112, 70pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 )
72 mulcan2 10183 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 ) )
7348, 24, 71, 72mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7447, 73mpbi 208 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1
7524, 1, 9, 30divmuli 10294 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7674, 75mpbir 209 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )
7776eqcomi 2480 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
78 3re 10605 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
79 3pos 10625 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
8078, 79sqrtpclii 13174 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
8180recni 9604 . . . . . 6  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
8281, 1, 30sqdivi 12216 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  3 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )
8359, 78, 79ltleii 9703 . . . . . . 7  |-  0  <_  3
8478sqsqrti 13167 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  3  ->  (
( sqr `  3
) ^ 2 )  =  3 )
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  3 ) ^ 2 )  =  3
86 sq2 12228 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8785, 86oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 3  /  4
)
8882, 87eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
8988fveq2i 5867 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4 ) )
9078sqrtge0i 13168 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  3  ->  0  <_  ( sqr `  3
) )
9183, 90ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( sqr `  3
)
9280, 53divge0i 10451 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( sqr `  3 )  /\  0  <  2 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9391, 52, 92mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
9480, 53, 30redivcli 10307 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  3 )  /  2 )  e.  RR
9594sqrtsqi 13166 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  ->  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9693, 95ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
97 4cn 10609 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
98 4ne0 10628 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9997, 98dividi 10273 . . . . . . 7  |-  ( 4  /  4 )  =  1
10099oveq1i 6292 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  4 ) )
10197, 98pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
102 divsubdir 10236 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
4 )  =  ( ( 4  /  4
)  -  ( 1  /  4 ) ) )
10397, 24, 101, 102mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  -  (
1  /  4 ) )
104 3p1e4 10657 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  1 )  =  4
10597, 24, 17subadd2i 9903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
106104, 105mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  1 )  =  3
107106oveq1i 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
108103, 107eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
10997, 98reccli 10270 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
11012sqcli 12212 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  e.  CC
11177oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )
1121, 30sqrecii 12214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
2 ^ 2 ) )
11386oveq2i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 1  /  4
)
114111, 112, 1133eqtri 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  /  4
)
115114oveq1i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  4
)  +  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 ) )
116 sincossq 13768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
1177, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
118115, 117eqtr3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
11924, 109, 110, 118subaddrii 9904 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )
120100, 108, 1193eqtr3ri 2505 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
121120fveq2i 5867 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4
) )
12259, 11, 69ltleii 9703 . . . . 5  |-  0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
12311sqrtsqi 13166 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )  ->  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
124122, 123ax-mp 5 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) )
125121, 124eqtr3i 2498 . . 3  |-  ( sqr `  ( 3  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
12689, 96, 1253eqtr3ri 2505 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
12777, 126pm3.2i 455 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   6c6 10585   (,)cioo 11525   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   sincsin 13657   cosccos 13658   picpi 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  22642  1cubrlem  22900
  Copyright terms: Public domain W3C validator