MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos6thpi 21936
Description: The sine and cosine of  pi  /  6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 10388 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2 pire 21880 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3 6re 10398 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
4 6pos 10416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
53, 4gt0ne0ii 9872 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
62, 3, 5redivcli 10094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
76recni 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
8 sincl 13406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  e.  CC )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
10 recoscl 13421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  e.  RR )
116, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  RR
1211recni 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
131, 9, 12mulassi 9391 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
14 sin2t 13457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  6
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  6 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) ) ) )
157, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
1613, 15eqtr4i 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
17 3cn 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
18 3ne0 10412 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
191, 17, 18divcli 10069 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
2017, 18reccli 10057 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
21 df-3 10377 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2221oveq1i 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
2317, 18dividi 10060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  1
24 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
251, 24, 17, 18divdiri 10084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
2622, 23, 253eqtr3ri 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
27 sincosq1eq 21933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
2819, 20, 26, 27mp3an 1309 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
29 picn 21881 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
30 2ne0 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
311, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 10087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
32 3t2e6 10469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3332oveq2i 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  6
)
343recni 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
351, 29, 34, 5divassi 10083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  6 )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3631, 33, 353eqtri 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3736fveq2i 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3828, 37eqtr3i 2463 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3924, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 10087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
4029mulid2i 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140, 32oveq12i 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4239, 41eqtri 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4342fveq2i 5691 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4438, 43eqtr3i 2463 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4516, 44eqtri 2461 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4612mulid2i 9385 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4745, 46eqtr4i 2464 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
481, 9mulcli 9387 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  e.  CC
49 pipos 21882 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
502, 3, 49, 4divgt0ii 10246 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( pi  /  6
)
51 2lt6 10497 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  6
52 2pos 10409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
53 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5453, 3, 23pm3.2i 1161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
55 ltdiv2OLD 10214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  /\  ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5654, 55mpan 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  / 
6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5752, 4, 49, 56mp3an 1309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) )
5851, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  < 
( pi  /  2
)
59 0re 9382 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
602, 53, 30redivcli 10094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
61 rexr 9425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
62 rexr 9425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
63 elioo2 11337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( pi  /  6
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6461, 62, 63syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  6 )  e.  RR  /\  0  < 
( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6559, 60, 64mp2an 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
666, 50, 58, 65mpbir3an 1165 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )
67 sincosq1sgn 21919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  6
) )  /\  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  /\  0  < 
( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
6968simpri 459 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
7011, 69gt0ne0ii 9872 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =/=  0
7112, 70pm3.2i 452 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 )
72 mulcan2 9970 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 ) )
7348, 24, 71, 72mp3an 1309 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7447, 73mpbi 208 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1
7524, 1, 9, 30divmuli 10081 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7674, 75mpbir 209 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )
7776eqcomi 2445 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
78 3re 10391 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
79 3pos 10411 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
8078, 79sqrpclii 12866 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
8180recni 9394 . . . . . 6  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
8281, 1, 30sqdivi 11946 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  3 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )
8359, 78, 79ltleii 9493 . . . . . . 7  |-  0  <_  3
8478sqsqri 12859 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  3  ->  (
( sqr `  3
) ^ 2 )  =  3 )
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  3 ) ^ 2 )  =  3
86 sq2 11958 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8785, 86oveq12i 6102 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 3  /  4
)
8882, 87eqtri 2461 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
8988fveq2i 5691 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4 ) )
9078sqrge0i 12860 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  3  ->  0  <_  ( sqr `  3
) )
9183, 90ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( sqr `  3
)
9280, 53divge0i 10238 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( sqr `  3 )  /\  0  <  2 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9391, 52, 92mp2an 667 . . . 4  |-  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
9480, 53, 30redivcli 10094 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  3 )  /  2 )  e.  RR
9594sqrsqi 12858 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  ->  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9693, 95ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
97 4cn 10395 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
98 4ne0 10414 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9997, 98dividi 10060 . . . . . . 7  |-  ( 4  /  4 )  =  1
10099oveq1i 6100 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  4 ) )
10197, 98pm3.2i 452 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
102 divsubdir 10023 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
4 )  =  ( ( 4  /  4
)  -  ( 1  /  4 ) ) )
10397, 24, 101, 102mp3an 1309 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  -  (
1  /  4 ) )
104 3p1e4 10443 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  1 )  =  4
10597, 24, 17subadd2i 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
106104, 105mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  1 )  =  3
107106oveq1i 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
108103, 107eqtr3i 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
10997, 98reccli 10057 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
11012sqcli 11942 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  e.  CC
11177oveq1i 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )
1121, 30sqrecii 11944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
2 ^ 2 ) )
11386oveq2i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 1  /  4
)
114111, 112, 1133eqtri 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  /  4
)
115114oveq1i 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  4
)  +  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 ) )
116 sincossq 13456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
1177, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
118115, 117eqtr3i 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
11924, 109, 110, 118subaddrii 9693 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )
120100, 108, 1193eqtr3ri 2470 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
121120fveq2i 5691 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4
) )
12259, 11, 69ltleii 9493 . . . . 5  |-  0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
12311sqrsqi 12858 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )  ->  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
124122, 123ax-mp 5 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) )
125121, 124eqtr3i 2463 . . 3  |-  ( sqr `  ( 3  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
12689, 96, 1253eqtr3ri 2470 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
12777, 126pm3.2i 452 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   6c6 10371   (,)cioo 11296   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   sincsin 13345   cosccos 13346   picpi 13348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  21937  1cubrlem  22195
  Copyright terms: Public domain W3C validator