MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos6thpi 21980
Description: The sine and cosine of  pi  /  6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 10395 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2 pire 21924 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3 6re 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
4 6pos 10423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
53, 4gt0ne0ii 9879 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
62, 3, 5redivcli 10101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
76recni 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
8 sincl 13413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  e.  CC )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
10 recoscl 13428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  e.  RR )
116, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  RR
1211recni 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
131, 9, 12mulassi 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
14 sin2t 13464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  6
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  6 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) ) ) )
157, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
1613, 15eqtr4i 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
17 3cn 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
18 3ne0 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
191, 17, 18divcli 10076 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
2017, 18reccli 10064 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
21 df-3 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2221oveq1i 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
2317, 18dividi 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  1
24 ax-1cn 9343 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
251, 24, 17, 18divdiri 10091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
2622, 23, 253eqtr3ri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
27 sincosq1eq 21977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
2819, 20, 26, 27mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
29 picn 21925 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
30 2ne0 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
311, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 10094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
32 3t2e6 10476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3332oveq2i 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  6
)
343recni 9401 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
351, 29, 34, 5divassi 10090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  6 )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3631, 33, 353eqtri 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3736fveq2i 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3828, 37eqtr3i 2465 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3924, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 10094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
4029mulid2i 9392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140, 32oveq12i 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4239, 41eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4342fveq2i 5697 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4438, 43eqtr3i 2465 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4516, 44eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4612mulid2i 9392 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4745, 46eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
481, 9mulcli 9394 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  e.  CC
49 pipos 21926 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
502, 3, 49, 4divgt0ii 10253 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( pi  /  6
)
51 2lt6 10504 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  6
52 2pos 10416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
53 2re 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5453, 3, 23pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
55 ltdiv2OLD 10221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  /\  ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  / 
6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5752, 4, 49, 56mp3an 1314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) )
5851, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  < 
( pi  /  2
)
59 0re 9389 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
602, 53, 30redivcli 10101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
61 rexr 9432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
62 rexr 9432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
63 elioo2 11344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( pi  /  6
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6461, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  6 )  e.  RR  /\  0  < 
( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6559, 60, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
666, 50, 58, 65mpbir3an 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )
67 sincosq1sgn 21963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  6
) )  /\  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  /\  0  < 
( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
6968simpri 462 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
7011, 69gt0ne0ii 9879 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =/=  0
7112, 70pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 )
72 mulcan2 9977 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 ) )
7348, 24, 71, 72mp3an 1314 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7447, 73mpbi 208 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1
7524, 1, 9, 30divmuli 10088 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7674, 75mpbir 209 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )
7776eqcomi 2447 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
78 3re 10398 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
79 3pos 10418 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
8078, 79sqrpclii 12873 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
8180recni 9401 . . . . . 6  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
8281, 1, 30sqdivi 11953 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  3 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )
8359, 78, 79ltleii 9500 . . . . . . 7  |-  0  <_  3
8478sqsqri 12866 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  3  ->  (
( sqr `  3
) ^ 2 )  =  3 )
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  3 ) ^ 2 )  =  3
86 sq2 11965 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8785, 86oveq12i 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 3  /  4
)
8882, 87eqtri 2463 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
8988fveq2i 5697 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4 ) )
9078sqrge0i 12867 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  3  ->  0  <_  ( sqr `  3
) )
9183, 90ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( sqr `  3
)
9280, 53divge0i 10245 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( sqr `  3 )  /\  0  <  2 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9391, 52, 92mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
9480, 53, 30redivcli 10101 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  3 )  /  2 )  e.  RR
9594sqrsqi 12865 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  ->  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9693, 95ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
97 4cn 10402 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
98 4ne0 10421 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9997, 98dividi 10067 . . . . . . 7  |-  ( 4  /  4 )  =  1
10099oveq1i 6104 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  4 ) )
10197, 98pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
102 divsubdir 10030 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
4 )  =  ( ( 4  /  4
)  -  ( 1  /  4 ) ) )
10397, 24, 101, 102mp3an 1314 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  -  (
1  /  4 ) )
104 3p1e4 10450 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  1 )  =  4
10597, 24, 17subadd2i 9699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
106104, 105mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  1 )  =  3
107106oveq1i 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
108103, 107eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
10997, 98reccli 10064 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
11012sqcli 11949 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  e.  CC
11177oveq1i 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )
1121, 30sqrecii 11951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
2 ^ 2 ) )
11386oveq2i 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 1  /  4
)
114111, 112, 1133eqtri 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  /  4
)
115114oveq1i 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  4
)  +  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 ) )
116 sincossq 13463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
1177, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
118115, 117eqtr3i 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
11924, 109, 110, 118subaddrii 9700 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )
120100, 108, 1193eqtr3ri 2472 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
121120fveq2i 5697 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4
) )
12259, 11, 69ltleii 9500 . . . . 5  |-  0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
12311sqrsqi 12865 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )  ->  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
124122, 123ax-mp 5 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) )
125121, 124eqtr3i 2465 . . 3  |-  ( sqr `  ( 3  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
12689, 96, 1253eqtr3ri 2472 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
12777, 126pm3.2i 455 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598    / cdiv 9996   2c2 10374   3c3 10375   4c4 10376   6c6 10378   (,)cioo 11303   ^cexp 11868   sqrcsqr 12725   sincsin 13352   cosccos 13353   picpi 13355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  21981  1cubrlem  22239
  Copyright terms: Public domain W3C validator