MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos4thpi 23075
Description: The sine and cosine of  pi  /  4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
3 2halves 10763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5 sincosq1eq 23074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
61, 1, 4, 5mp3an 1322 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
76oveq2i 6281 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
87oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
9 2cn 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
10 pire 23020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
1110recni 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
12 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 10300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
2  x.  2 ) )
1411mulid2i 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
15 2t2e4 10681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15oveq12i 6282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1713, 16eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1817fveq2i 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
1918, 18oveq12i 6282 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
2019oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )
219, 12recidi 10271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2221oveq1i 6280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
23 2re 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
2410, 23, 12redivcli 10307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2524recni 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
269, 1, 25mulassi 9594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
2725mulid2i 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2822, 26, 273eqtr3i 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
2928fveq2i 5851 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  2 ) )
301, 25mulcli 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
31 sin2t 13997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
33 sinhalfpi 23030 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
3429, 32, 333eqtr3i 2491 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  1
358, 20, 343eqtr3i 2491 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )  =  1
3635fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( sqr `  1 )
37 4re 10608 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
38 4ne0 10628 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
3910, 37, 38redivcli 10307 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
40 resincl 13960 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
4 ) )  e.  RR )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  e.  RR
4241, 41remulcli 9599 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )  e.  RR
43 0le2 10622 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4441msqge0i 10087 . . . . . 6  |-  0  <_  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 13304 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
46 sqrt1 13190 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
4736, 45, 463eqtr3ri 2492 . . . 4  |-  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
4842sqrtcli 13289 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR )
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR
5049recni 9597 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  CC
51 sqrt2re 14070 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5251recni 9597 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
53 sqrt00 13182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  =  0  <->  2  =  0 ) )
5423, 43, 53mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  2 )  =  0  <->  2  = 
0 )
5554necon3bii 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  0  <->  2  =/=  0 )
5612, 55mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
5752, 56pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
58 divmul2 10207 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) ) )
592, 50, 57, 58mp3an 1322 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) )
6047, 59mpbir 209 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )
61 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
62 pipos 23022 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
63 4pos 10627 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 10458 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  4
)
65 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
66 pigt2lt4 23018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
6766simpri 460 . . . . . . . . . 10  |-  pi  <  4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 10470 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
<  4  <->  ( pi  /  4 )  <  (
4  /  4 ) )
6967, 68mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( 4  /  4
)
7037recni 9597 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
7170, 38dividi 10273 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  4 )  =  1
7269, 71breqtri 4462 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  <  1
7339, 65, 72ltleii 9696 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  <_ 
1
74 0xr 9629 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
75 elioc2 11590 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( pi  /  4
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) ) )
7674, 65, 75mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) )
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1176 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( 0 (,] 1
)
78 sin01gt0 14010 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8061, 41, 79ltleii 9696 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8141sqrtmsqi 13291 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )  ->  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
8280, 81ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8360, 82eqtr2i 2484 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8460, 82eqtri 2483 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
8517fveq2i 5851 . . . 4  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
866, 18, 853eqtr3i 2491 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
8784, 86eqtr2i 2484 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8883, 87pm3.2i 453 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   2c2 10581   4c4 10583   (,]cioc 11533   sqrcsqrt 13151   sincsin 13884   cosccos 13885   picpi 13887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440
This theorem is referenced by:  tan4thpi  23076
  Copyright terms: Public domain W3C validator