MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos4thpi 21975
Description: The sine and cosine of  pi  /  4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 10541 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
3 2halves 10553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5 sincosq1eq 21974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
61, 1, 4, 5mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
76oveq2i 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
87oveq2i 6102 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
9 2cn 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
10 pire 21921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
1110recni 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
12 2ne0 10414 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 10091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
2  x.  2 ) )
1411mulid2i 9389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
15 2t2e4 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15oveq12i 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1713, 16eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1817fveq2i 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
1918, 18oveq12i 6103 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
2019oveq2i 6102 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )
219, 12recidi 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2221oveq1i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
23 2re 10391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
2410, 23, 12redivcli 10098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2524recni 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
269, 1, 25mulassi 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
2725mulid2i 9389 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2822, 26, 273eqtr3i 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
2928fveq2i 5694 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  2 ) )
301, 25mulcli 9391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
31 sin2t 13461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
33 sinhalfpi 21930 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
3429, 32, 333eqtr3i 2471 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  1
358, 20, 343eqtr3i 2471 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )  =  1
3635fveq2i 5694 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( sqr `  1 )
37 4re 10398 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
38 4ne0 10418 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
3910, 37, 38redivcli 10098 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
40 resincl 13424 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
4 ) )  e.  RR )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  e.  RR
4241, 41remulcli 9400 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )  e.  RR
43 0le2 10412 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4441msqge0i 9878 . . . . . 6  |-  0  <_  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
4523, 42, 43, 44sqrmulii 12874 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
46 sqr1 12761 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
4736, 45, 463eqtr3ri 2472 . . . 4  |-  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
4842sqrcli 12859 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR )
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR
5049recni 9398 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  CC
51 sqr2re 13532 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5251recni 9398 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
53 sqr00 12753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  =  0  <->  2  =  0 ) )
5423, 43, 53mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  2 )  =  0  <->  2  = 
0 )
5554necon3bii 2640 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  0  <->  2  =/=  0 )
5612, 55mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
5752, 56pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
58 divmul2 9998 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) ) )
592, 50, 57, 58mp3an 1314 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) )
6047, 59mpbir 209 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )
61 0re 9386 . . . . 5  |-  0  e.  RR
62 pipos 21923 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
63 4pos 10417 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 10250 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  4
)
65 1re 9385 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
66 pigt2lt4 21919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
6766simpri 462 . . . . . . . . . 10  |-  pi  <  4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 10262 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
<  4  <->  ( pi  /  4 )  <  (
4  /  4 ) )
6967, 68mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( 4  /  4
)
7037recni 9398 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
7170, 38dividi 10064 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  4 )  =  1
7269, 71breqtri 4315 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  <  1
7339, 65, 72ltleii 9497 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  <_ 
1
74 0xr 9430 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
75 elioc2 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( pi  /  4
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) ) )
7674, 65, 75mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) )
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1170 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( 0 (,] 1
)
78 sin01gt0 13474 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8061, 41, 79ltleii 9497 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8141sqrmsqi 12861 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )  ->  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
8280, 81ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8360, 82eqtr2i 2464 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8460, 82eqtri 2463 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
8517fveq2i 5694 . . . 4  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
866, 18, 853eqtr3i 2471 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
8784, 86eqtr2i 2464 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8883, 87pm3.2i 455 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   2c2 10371   4c4 10373   (,]cioc 11301   sqrcsqr 12722   sincsin 13349   cosccos 13350   picpi 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342
This theorem is referenced by:  tan4thpi  21976
  Copyright terms: Public domain W3C validator