MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos3rdpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos3rdpi 23336
Description: The sine and cosine of  pi  /  3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sincos3rdpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )

Proof of Theorem sincos3rdpi
StepHypRef Expression
1 picn 23279 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
2 2cn 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
3 2ne0 10702 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
42, 3reccli 10336 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
5 3cn 10684 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
6 3ne0 10704 . . . . . . . 8  |-  3  =/=  0
75, 6reccli 10336 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
81, 4, 7subdii 10066 . . . . . 6  |-  ( pi  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( pi  x.  ( 1  /  2
) )  -  (
pi  x.  ( 1  /  3 ) ) )
9 halfpm6th 10834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  ( 1  /  6 ) )  =  ( 1  / 
3 )  /\  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
109simpli 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 1  /  3
)
1110oveq2i 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  -  (
1  /  3 ) )
12 6cn 10691 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
13 6nn 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  NN
1413nnne0i 10644 . . . . . . . . . 10  |-  6  =/=  0
1512, 14reccli 10336 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
16 nncan 9902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  / 
2 )  -  (
1  /  6 ) ) )  =  ( 1  /  6 ) )
174, 15, 16mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  6
) ) )  =  ( 1  /  6
)
1811, 17eqtr3i 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)
1918oveq2i 6316 . . . . . 6  |-  ( pi  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( pi  x.  (
1  /  6 ) )
208, 19eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( ( pi  x.  ( 1  /  2 ) )  -  ( pi  x.  ( 1  /  3
) ) )  =  ( pi  x.  (
1  /  6 ) )
211, 2, 3divreci 10351 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( pi  x.  (
1  /  2 ) )
221, 5, 6divreci 10351 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  3 )  =  ( pi  x.  (
1  /  3 ) )
2321, 22oveq12i 6317 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
3 ) )  =  ( ( pi  x.  ( 1  /  2
) )  -  (
pi  x.  ( 1  /  3 ) ) )
241, 12, 14divreci 10351 . . . . 5  |-  ( pi 
/  6 )  =  ( pi  x.  (
1  /  6 ) )
2520, 23, 243eqtr4i 2468 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
3 ) )  =  ( pi  /  6
)
2625fveq2i 5884 . . 3  |-  ( cos `  ( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
271, 5, 6divcli 10348 . . . 4  |-  ( pi 
/  3 )  e.  CC
28 coshalfpim 23315 . . . 4  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( pi  /  3
) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  3 ) ) )
2927, 28ax-mp 5 . . 3  |-  ( cos `  ( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  3 ) )
30 sincos6thpi 23335 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
3130simpri 463 . . 3  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
3226, 29, 313eqtr3i 2466 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  3
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
3325fveq2i 5884 . . 3  |-  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  6 ) )
34 sinhalfpim 23313 . . . 4  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( pi  /  3
) ) )  =  ( cos `  (
pi  /  3 ) ) )
3527, 34ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  3 ) )
3630simpli 459 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
3733, 35, 363eqtr3i 2466 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( 1  /  2 )
3832, 37pm3.2i 456 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859    / cdiv 10268   2c2 10659   3c3 10660   6c6 10663   sqrcsqrt 13275   sincsin 14094   cosccos 14095   picpi 14097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699
This theorem is referenced by:  pige3  23337
  Copyright terms: Public domain W3C validator