MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos1sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincos1sgn 13459
Description: The signs of the sine and cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos1sgn  |-  ( 0  <  ( sin `  1
)  /\  0  <  ( cos `  1 ) )

Proof of Theorem sincos1sgn
StepHypRef Expression
1 1re 9372 . . 3  |-  1  e.  RR
2 0lt1 9849 . . 3  |-  0  <  1
3 1le1 9951 . . 3  |-  1  <_  1
4 0xr 9417 . . . 4  |-  0  e.  RR*
5 elioc2 11345 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) ) )
64, 1, 5mp2an 665 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) )
71, 2, 3, 6mpbir3an 1163 . 2  |-  1  e.  ( 0 (,] 1
)
8 sin01gt0 13456 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  1
) )
9 cos01gt0 13457 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( cos `  1
) )
108, 9jca 529 . 2  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  ( sin `  1 )  /\  0  <  ( cos `  1
) ) )
117, 10ax-mp 5 1  |-  ( 0  <  ( sin `  1
)  /\  0  <  ( cos `  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406   (,]cioc 11288   sincsin 13331   cosccos 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator