Theorem sincolem 10014

Description: Lemma for sinco 10016 and cosco 10017.

Hypotheses

Ref	Expression
sinco.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (_i x. x))}
sinco.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-u_i x. x))}
sincolem.3	|- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / A))}
sincolem.4	|- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)))}
sincolem.5	|- ((((exp o. F)` z) e. CC /\ ((exp o. G)` z) e. CC) -> (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) e. CC)
sincolem.6	|- A e. CC
sincolem.7	|- A =/= 0

Assertion

Ref	Expression
sincolem	|- ((J o. H) Fn CC /\ (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A)))

Distinct variable groups:   v,F,w,z   v,G,w,z   v,O,w,x,y,z   x,A,y   z,H   z,J

Proof of Theorem sincolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. . . 4 |- (x / A) e. _V
2		sincolem.3	. . . 4 |- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / A))}
3	1, 2	fnopab2 4549	. . 3 |- J Fn CC
4		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((exp o. F)` w) = ((exp o. F)` z))
5		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((exp o. G)` w) = ((exp o. G)` z))
6	4, 5	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (w = z -> (((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)) = (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)))
7	6	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (w = z -> ((((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)) e. CC <-> (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) e. CC))
8	7	cbvralv 2280	. . . . 5 |- (A.w e. CC (((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)) e. CC <-> A.z e. CC (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) e. CC)
9		eff 8575	. . . . . . . 8 |- exp:CC-->CC
10		sinco.1	. . . . . . . . 9 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (_i x. x))}
11		axicn 6423	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
12		mulcl 6456	. . . . . . . . . 10 |- ((_i e. CC /\ x e. CC) -> (_i x. x) e. CC)
13	11, 12	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (x e. CC -> (_i x. x) e. CC)
14	10, 13	fopab 4800	. . . . . . . 8 |- F:CC-->CC
15		fco 4573	. . . . . . . 8 |- ((exp:CC-->CC /\ F:CC-->CC) -> (exp o. F):CC-->CC)
16	9, 14, 15	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (exp o. F):CC-->CC
17	16	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (z e. CC -> ((exp o. F)` z) e. CC)
18		sinco.2	. . . . . . . . 9 |- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-u_i x. x))}
19	11	negcli 6526	. . . . . . . . . 10 |- -u_i e. CC
20		mulcl 6456	. . . . . . . . . 10 |- ((-u_i e. CC /\ x e. CC) -> (-u_i x. x) e. CC)
21	19, 20	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (x e. CC -> (-u_i x. x) e. CC)
22	18, 21	fopab 4800	. . . . . . . 8 |- G:CC-->CC
23		fco 4573	. . . . . . . 8 |- ((exp:CC-->CC /\ G:CC-->CC) -> (exp o. G):CC-->CC)
24	9, 22, 23	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (exp o. G):CC-->CC
25	24	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (z e. CC -> ((exp o. G)` z) e. CC)
26		sincolem.5	. . . . . 6 |- ((((exp o. F)` z) e. CC /\ ((exp o. G)` z) e. CC) -> (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) e. CC)
27	17, 25, 26	syl11anc 524	. . . . 5 |- (z e. CC -> (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) e. CC)
28	8, 27	mprgbir 2163	. . . 4 |- A.w e. CC (((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)) e. CC
29		sincolem.4	. . . . 5 |- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)))}
30	29	fopab2 4796	. . . 4 |- (A.w e. CC (((exp o. F)` w)O((exp o. G)` w)) e. CC <-> H:CC-->CC)
31	28, 30	mpbi 206	. . 3 |- H:CC-->CC
32		fnfco 4581	. . 3 |- ((J Fn CC /\ H:CC-->CC) -> (J o. H) Fn CC)
33	3, 31, 32	mp2an 761	. 2 |- (J o. H) Fn CC
34		fnfun 4510	. . . . 5 |- (J Fn CC -> Fun J)
35	3, 34	ax-mp 7	. . . 4 |- Fun J
36		fvco3 4739	. . . 4 |- ((Fun J /\ H:CC-->CC /\ z e. CC) -> ((J o. H)` z) = (J` (H` z)))
37	35, 31, 36	mp3an12 1181	. . 3 |- (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (J` (H` z)))
38	6, 29	fvopab4g 4742	. . . . . 6 |- ((z e. CC /\ (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) e. CC) -> (H` z) = (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)))
39	27, 38	mpdan 768	. . . . 5 |- (z e. CC -> (H` z) = (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)))
40		ffun 4565	. . . . . . . . 9 |- (exp:CC-->CC -> Fun exp)
41	9, 40	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- Fun exp
42		fvco3 4739	. . . . . . . 8 |- ((Fun exp /\ F:CC-->CC /\ z e. CC) -> ((exp o. F)` z) = (exp` (F` z)))
43	41, 14, 42	mp3an12 1181	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> ((exp o. F)` z) = (exp` (F` z)))
44		mulcl 6456	. . . . . . . . . 10 |- ((_i e. CC /\ z e. CC) -> (_i x. z) e. CC)
45	11, 44	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (z e. CC -> (_i x. z) e. CC)
46		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (_i x. x) = (_i x. z))
47	46, 10	fvopab4g 4742	. . . . . . . . 9 |- ((z e. CC /\ (_i x. z) e. CC) -> (F` z) = (_i x. z))
48	45, 47	mpdan 768	. . . . . . . 8 |- (z e. CC -> (F` z) = (_i x. z))
49	48	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> (exp` (F` z)) = (exp` (_i x. z)))
50	43, 49	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (z e. CC -> ((exp o. F)` z) = (exp` (_i x. z)))
51		fvco3 4739	. . . . . . . 8 |- ((Fun exp /\ G:CC-->CC /\ z e. CC) -> ((exp o. G)` z) = (exp` (G` z)))
52	41, 22, 51	mp3an12 1181	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> ((exp o. G)` z) = (exp` (G` z)))
53		mulcl 6456	. . . . . . . . . 10 |- ((-u_i e. CC /\ z e. CC) -> (-u_i x. z) e. CC)
54	19, 53	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (z e. CC -> (-u_i x. z) e. CC)
55		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (-u_i x. x) = (-u_i x. z))
56	55, 18	fvopab4g 4742	. . . . . . . . 9 |- ((z e. CC /\ (-u_i x. z) e. CC) -> (G` z) = (-u_i x. z))
57	54, 56	mpdan 768	. . . . . . . 8 |- (z e. CC -> (G` z) = (-u_i x. z))
58	57	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> (exp` (G` z)) = (exp` (-u_i x. z)))
59	52, 58	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (z e. CC -> ((exp o. G)` z) = (exp` (-u_i x. z)))
60	50, 59	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (z e. CC -> (((exp o. F)` z)O((exp o. G)` z)) = ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))))
61	39, 60	eqtrd 1925	. . . 4 |- (z e. CC -> (H` z) = ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))))
62	61	fveq2d 4685	. . 3 |- (z e. CC -> (J` (H` z)) = (J` ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z)))))
63	60, 27	eqeltrrd 1972	. . . 4 |- (z e. CC -> ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) e. CC)
64		sincolem.6	. . . . . 6 |- A e. CC
65		sincolem.7	. . . . . 6 |- A =/= 0
66		divcl 6901	. . . . . 6 |- ((((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A) e. CC)
67	64, 65, 66	mp3an23 1183	. . . . 5 |- (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) e. CC -> (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A) e. CC)
68		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) -> (x / A) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A))
69	68, 2	fvopab4g 4742	. . . . 5 |- ((((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) e. CC /\ (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A) e. CC) -> (J` ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z)))) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A))
70	67, 69	mpdan 768	. . . 4 |- (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) e. CC -> (J` ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z)))) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A))
71	63, 70	syl 12	. . 3 |- (z e. CC -> (J` ((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z)))) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A))
72	37, 62, 71	3eqtrd 1929	. 2 |- (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A))
73	33, 72	pm3.2i 307	1 |- ((J o. H) Fn CC /\ (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (_i x. z))O(exp` (-u_i x. z))) / A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  {copab 3395   o. ccom 3990  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  _ici 6388   x. cmul 6391  -ucneg 6446   / cdiv 6447  expce 8555

This theorem is referenced by:  sinco 10016  cosco 10017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain