Theorem sinco 10016

Description: Sine expressed as a function composition. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinco.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (_i x. x))}
sinco.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-u_i x. x))}
sinco.3	|- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. _i)))}
sinco.4	|- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w) - ((exp o. G)` w)))}

Assertion

Ref	Expression
sinco	|- sin = (J o. H)

Distinct variable groups:   v,F,w   v,G,w   x,v,y,w

Proof of Theorem sinco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinval 8694	. . . 4 |- (z e. CC -> (sin` z) = (((exp` (_i x. z)) - (exp` (-u_i x. z))) / (2 x. _i)))
2		sinco.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (_i x. x))}
3		sinco.2	. . . . . 6 |- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-u_i x. x))}
4		sinco.3	. . . . . 6 |- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. _i)))}
5		sinco.4	. . . . . 6 |- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w) - ((exp o. G)` w)))}
6		subcl 6524	. . . . . 6 |- ((((exp o. F)` z) e. CC /\ ((exp o. G)` z) e. CC) -> (((exp o. F)` z) - ((exp o. G)` z)) e. CC)
7		2cn 7164	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
8		axicn 6423	. . . . . . 7 |- _i e. CC
9	7, 8	mulcli 6474	. . . . . 6 |- (2 x. _i) e. CC
10		2ne0 7174	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
11		ine0 6597	. . . . . . 7 |- _i =/= 0
12	7, 8, 10, 11	mulne0i 6888	. . . . . 6 |- (2 x. _i) =/= 0
13	2, 3, 4, 5, 6, 9, 12	sincolem 10014	. . . . 5 |- ((J o. H) Fn CC /\ (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (_i x. z)) - (exp` (-u_i x. z))) / (2 x. _i))))
14	13	simpri 351	. . . 4 |- (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (_i x. z)) - (exp` (-u_i x. z))) / (2 x. _i)))
15	1, 14	eqtr4d 1928	. . 3 |- (z e. CC -> (sin` z) = ((J o. H)` z))
16	15	rgen 2159	. 2 |- A.z e. CC (sin` z) = ((J o. H)` z)
17		sinf 8705	. . . 4 |- sin:CC-->CC
18		ffn 4562	. . . 4 |- (sin:CC-->CC -> sin Fn CC)
19	17, 18	ax-mp 7	. . 3 |- sin Fn CC
20	13	simpli 347	. . 3 |- (J o. H) Fn CC
21		eqfnfv2 4767	. . 3 |- ((sin Fn CC /\ (J o. H) Fn CC) -> (sin = (J o. H) <-> A.z e. CC (sin` z) = ((J o. H)` z)))
22	19, 20, 21	mp2an 761	. 2 |- (sin = (J o. H) <-> A.z e. CC (sin` z) = ((J o. H)` z))
23	16, 22	mpbir 207	1 |- sin = (J o. H)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {copab 3395   o. ccom 3990   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  _ici 6388   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447  2c2 7145  expce 8555  sincsin 8557

This theorem is referenced by:  sincn 10018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562

Copyright terms: Public domain