MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincl Structured version   Unicode version

Theorem sincl 13713
Description: Closure of the sine function. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sincl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )

Proof of Theorem sincl
StepHypRef Expression
1 sinf 13711 . 2  |-  sin : CC
--> CC
21ffvelrni 6013 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5581   CCcc 9481   sincsin 13652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-ico 11526  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658
This theorem is referenced by:  tancl  13716  sincld  13717  tanneg  13735  sin0  13736  efmival  13740  sinadd  13751  cosadd  13752  tanaddlem  13753  sinsub  13755  cossub  13756  subsin  13758  sinmul  13759  cosmul  13760  addcos  13761  subcos  13762  sincossq  13763  sin2t  13764  cos2t  13765  cos2tsin  13766  demoivreALT  13788  sinhalfpilem  22584  sinmpi  22608  cosmpi  22609  sinppi  22610  cosppi  22611  efimpi  22612  sinhalfpip  22613  sinhalfpim  22614  coshalfpip  22615  coshalfpim  22616  sincos6thpi  22636  abssinper  22639  asinsin  22946  atandmtan  22974  atantan  22977  sin2h  29611  tan2h  29613  dvtan  29631  dvcosax  31213  itgsinexplem1  31228  itgsinexp  31229  itgsincmulx  31249  dirkerper  31353  dirkertrigeqlem2  31356  dirkercncflem2  31361  fourierdlem43  31407  fourierdlem44  31408  fourierdlem62  31426  fourierdlem73  31437  fourierdlem76  31440  fourierdlem103  31467  fourierdlem104  31468  fouriersw  31489  csccl  32103  cotcl  32104  reccsc  32109  reccot  32110  rectan  32111  onetansqsecsq  32113  cotsqcscsq  32114
  Copyright terms: Public domain W3C validator