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Theorem sinccvglem 30268
Description:  ( ( sin `  x
)  /  x )  ~~>  1 as (real)  x  ~~>  0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
sinccvg.2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
sinccvg.3  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
sinccvg.4  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
sinccvg.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
sinccvg.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, H    k, M    ph, k    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 sinccvg.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnzd 10990 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 sinccvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
5 sinccvg.4 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
65funmpt2 5581 . . . . 5  |-  Fun  H
7 sinccvg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
8 nnex 10566 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
9 fex 6097 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e. 
_V )
107, 8, 9sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 cofunexg 6715 . . . . 5  |-  ( ( Fun  H  /\  F  e.  _V )  ->  ( H  o.  F )  e.  _V )
126, 10, 11sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  _V )
137adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F : NN
--> ( RR  \  {
0 } ) )
14 eluznn 11180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
152, 14sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
1613, 15ffvelrnd 5982 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
17 eldifsn 4068 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  =/=  0 ) )
1816, 17sylib 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `
 k )  =/=  0 ) )
1918simpld 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2019recnd 9620 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
21 ax-1cn 9548 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
22 sqcl 12287 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
23 3cn 10635 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
24 3ne0 10655 . . . . . . . 8  |-  3  =/=  0
25 divcl 10227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2623, 24, 25mp3an23 1352 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2722, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
28 subcl 9825 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
2921, 27, 28sylancr 667 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
305, 29fmpti 6004 . . . 4  |-  H : CC
--> CC
31 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3231cnfldtopon 21745 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
34 1cnd 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
3533, 33, 34cnmptc 20619 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3631sqcn 21848 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3831divccn 21847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3923, 24, 38mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
41 oveq1 6256 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x ^
2 )  ->  (
y  /  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) )
4233, 37, 33, 40, 41cnmpt11 20620 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4331subcn 21840 . . . . . . . . 9  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4533, 35, 42, 44cnmpt12f 20623 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4645trud 1446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4731cncfcn1 21884 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4846, 5, 473eltr4i 2519 . . . . 5  |-  H  e.  ( CC -cn-> CC )
49 cncfi 21868 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  ( CC
-cn-> CC )  /\  0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
5048, 49mp3an1 1347 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
51 fvco3 5902 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  o.  F
) `  k )  =  ( H `  ( F `  k ) ) )
527, 51sylan 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H  o.  F ) `
 k )  =  ( H `  ( F `  k )
) )
5315, 52syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( H `  ( F `
 k ) ) )
541, 4, 12, 3, 20, 30, 50, 53climcn1lem 13609 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  ( H ` 
0 ) )
55 0cn 9586 . . . 4  |-  0  e.  CC
56 sq0i 12317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  0 )
5756oveq1d 6264 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( 0  / 
3 ) )
5823, 24div0i 10292 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  3 )  =  0
5957, 58syl6eq 2478 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  0 )
6059oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  0 ) )
61 1m0e1 10671 . . . . . 6  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6260, 61syl6eq 2478 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  1 )
63 1ex 9589 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6462, 5, 63fvmpt 5908 . . . 4  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( H `  0 )  =  1 )
6555, 64ax-mp 5 . . 3  |-  ( H `
 0 )  =  1
6654, 65syl6breq 4406 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  1 )
67 sinccvg.3 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
6867funmpt2 5581 . . 3  |-  Fun  G
69 cofunexg 6715 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  F  e.  _V )  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
7068, 10, 69sylancr 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  _V )
71 oveq1 6256 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
7271oveq1d 6264 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )
7372oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) ) )
74 ovex 6277 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e. 
_V
7573, 5, 74fvmpt 5908 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  k ) )  =  ( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
7620, 75syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  k
) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
7753, 76eqtrd 2462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
78 1re 9593 . . . 4  |-  1  e.  RR
7919resqcld 12392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
80 3nn 10719 . . . . 5  |-  3  e.  NN
81 nndivre 10596 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
8279, 80, 81sylancl 666 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
83 resubcl 9889 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
8478, 82, 83sylancr 667 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e.  RR )
8577, 84eqeltrd 2506 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  e.  RR )
86 fvco3 5902 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G  o.  F
) `  k )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
877, 86sylan 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G  o.  F ) `
 k )  =  ( G `  ( F `  k )
) )
8815, 87syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
89 fveq2 5825 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  ( F `  k )
) )
90 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  x  =  ( F `  k ) )
9189, 90oveq12d 6267 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  x
)  /  x )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
92 ovex 6277 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) )  e. 
_V
9391, 67, 92fvmpt 5908 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) )
9416, 93syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9588, 94eqtrd 2462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9619resincld 14140 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  RR )
9718simprd 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
9896, 19, 97redivcld 10386 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  e.  RR )
9995, 98eqeltrd 2506 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  RR )
100 1cnd 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
10182recnd 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
10220abscld 13441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
103102recnd 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
104100, 101, 103subdird 10026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  -  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
105103mulid2d 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
106 df-3 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
107106oveq2i 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )
108 2nn0 10837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
109 expp1 12229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
110103, 108, 109sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
111 absresq 13309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
11219, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
113112oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
114110, 113eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
115107, 114syl5eq 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
116115oveq1d 6264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  3
) )
11779recnd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
11823a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  e.  CC )
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  =/=  0 )
120117, 103, 118, 119div23d 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
3 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
121116, 120eqtr2d 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )
122105, 121oveq12d 6267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  -  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )
123104, 122eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) ) )
12420, 97absrpcld 13453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR+ )
125124rpgt0d 11295 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
126 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
127 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  1  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  1 ) )
128102, 78, 127sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
)
130 0xr 9638 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
131 elioc2 11648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) ) )
132130, 78, 131mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
133102, 125, 129, 132syl3anbrc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  ( 0 (,] 1 ) )
134 sin01bnd 14182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
136135simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `  k
) ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
137123, 136eqbrtrd 4387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
138102resincld 14140 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
13984, 138, 124ltmuldivd 11336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <-> 
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
140137, 139mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
141 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  ( F `
 k ) ) )
142 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
143141, 142oveq12d 6267 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
144143a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) ) )
145 sinneg 14143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( F `  k ) )  = 
-u ( sin `  ( F `  k )
) )
14620, 145syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  -u ( F `  k
) )  =  -u ( sin `  ( F `
 k ) ) )
147146oveq1d 6264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  (
-u ( sin `  ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
14896recnd 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  CC )
149148, 20, 97div2negd 10349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -u ( sin `  ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
150147, 149eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
151 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  -u ( F `  k )
) )
152 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k ) )
153151, 152oveq12d 6267 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
154153eqeq1d 2430 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  <-> 
( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
)  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) ) )
155150, 154syl5ibrcom 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) ) )
15619absord 13421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  =  -u ( F `  k ) ) )
157144, 155, 156mpjaod 382 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
158140, 157breqtrd 4391 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
15984, 98, 158ltled 9734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  <_ 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
160159, 77, 953brtr4d 4397 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  <_  (
( G  o.  F
) `  k )
)
16178a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
162135simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  k ) ) )
163103mulid1d 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
164162, 163breqtrrd 4393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) )
165138, 161, 124ltdivmuld 11340 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  1  <->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) ) )
166164, 165mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  1 )
167157, 166eqbrtrrd 4389 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <  1
)
16898, 161, 167ltled 9734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <_  1
)
16995, 168eqbrtrd 4387 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  <_  1
)
1701, 3, 66, 70, 85, 99, 160, 169climsqz 13647 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    \ cdif 3376   {csn 3941   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    o. ccom 4800   Fun wfun 5538   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   -ucneg 9812    / cdiv 10220   NNcn 10560   2c2 10610   3c3 10611   NN0cn0 10820   ZZ>=cuz 11110   RR+crp 11253   (,]cioc 11587   ^cexp 12222   abscabs 13241    ~~> cli 13491   sincsin 14059   TopOpenctopn 15263  ℂfldccnfld 18913  TopOnctopon 19860    Cn ccn 20182    tX ctx 20517   -cn->ccncf 21850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852
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