Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinccvglem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sinccvglem 30388
 Description: as (real) . (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1
sinccvg.2
sinccvg.3
sinccvg.4
sinccvg.5
sinccvg.6
Assertion
Ref Expression
sinccvglem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2
2 sinccvg.5 . . 3
32nnzd 11062 . 2
4 sinccvg.2 . . . 4
5 sinccvg.4 . . . . . 6
65funmpt2 5626 . . . . 5
7 sinccvg.1 . . . . . 6
8 nnex 10637 . . . . . 6
9 fex 6155 . . . . . 6
107, 8, 9sylancl 675 . . . . 5
11 cofunexg 6776 . . . . 5
126, 10, 11sylancr 676 . . . 4
137adantr 472 . . . . . . . 8
14 eluznn 11252 . . . . . . . . 9
152, 14sylan 479 . . . . . . . 8
1613, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
17 eldifsn 4088 . . . . . . 7
1816, 17sylib 201 . . . . . 6
1918simpld 466 . . . . 5
2019recnd 9687 . . . 4
21 ax-1cn 9615 . . . . . 6
22 sqcl 12375 . . . . . . 7
23 3cn 10706 . . . . . . . 8
24 3ne0 10726 . . . . . . . 8
25 divcl 10298 . . . . . . . 8
2623, 24, 25mp3an23 1382 . . . . . . 7
2722, 26syl 17 . . . . . 6
28 subcl 9894 . . . . . 6
2921, 27, 28sylancr 676 . . . . 5
305, 29fmpti 6060 . . . 4
31 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 fld fld
3231cnfldtopon 21881 . . . . . . . . 9 fld TopOn
3332a1i 11 . . . . . . . 8 fld TopOn
34 1cnd 9677 . . . . . . . . 9
3533, 33, 34cnmptc 20754 . . . . . . . 8 fld fld
3631sqcn 21984 . . . . . . . . . 10 fld fld
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld
3831divccn 21983 . . . . . . . . . . 11 fld fld
3923, 24, 38mp2an 686 . . . . . . . . . 10 fld fld
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld
41 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
4233, 37, 33, 40, 41cnmpt11 20755 . . . . . . . 8 fld fld
4331subcn 21976 . . . . . . . . 9 fld fld fld
4443a1i 11 . . . . . . . 8 fld fld fld
4533, 35, 42, 44cnmpt12f 20758 . . . . . . 7 fld fld
4645trud 1461 . . . . . 6 fld fld
4731cncfcn1 22020 . . . . . 6 fld fld
4846, 5, 473eltr4i 2562 . . . . 5
49 cncfi 22004 . . . . 5
5048, 49mp3an1 1377 . . . 4
51 fvco3 5957 . . . . . 6
527, 51sylan 479 . . . . 5
5315, 52syldan 478 . . . 4
541, 4, 12, 3, 20, 30, 50, 53climcn1lem 13743 . . 3
55 0cn 9653 . . . 4
56 sq0i 12405 . . . . . . . . 9
5756oveq1d 6323 . . . . . . . 8
5823, 24div0i 10363 . . . . . . . 8
5957, 58syl6eq 2521 . . . . . . 7
6059oveq2d 6324 . . . . . 6
61 1m0e1 10742 . . . . . 6
6260, 61syl6eq 2521 . . . . 5
63 1ex 9656 . . . . 5
6462, 5, 63fvmpt 5963 . . . 4
6555, 64ax-mp 5 . . 3
6654, 65syl6breq 4435 . 2
67 sinccvg.3 . . . 4
6867funmpt2 5626 . . 3
69 cofunexg 6776 . . 3
7068, 10, 69sylancr 676 . 2
71 oveq1 6315 . . . . . . . 8
7271oveq1d 6323 . . . . . . 7
7372oveq2d 6324 . . . . . 6
74 ovex 6336 . . . . . 6
7573, 5, 74fvmpt 5963 . . . . 5
7620, 75syl 17 . . . 4
7753, 76eqtrd 2505 . . 3
78 1re 9660 . . . 4
7919resqcld 12480 . . . . 5
80 3nn 10791 . . . . 5
81 nndivre 10667 . . . . 5
8279, 80, 81sylancl 675 . . . 4
83 resubcl 9958 . . . 4
8478, 82, 83sylancr 676 . . 3
8577, 84eqeltrd 2549 . 2
86 fvco3 5957 . . . . . 6
877, 86sylan 479 . . . . 5
8815, 87syldan 478 . . . 4
89 fveq2 5879 . . . . . . 7
90 id 22 . . . . . . 7
9189, 90oveq12d 6326 . . . . . 6
92 ovex 6336 . . . . . 6
9391, 67, 92fvmpt 5963 . . . . 5
9416, 93syl 17 . . . 4
9588, 94eqtrd 2505 . . 3
9619resincld 14274 . . . 4
9718simprd 470 . . . 4
9896, 19, 97redivcld 10457 . . 3
9995, 98eqeltrd 2549 . 2
100 1cnd 9677 . . . . . . . . 9
10182recnd 9687 . . . . . . . . 9
10220abscld 13575 . . . . . . . . . 10
103102recnd 9687 . . . . . . . . 9
104100, 101, 103subdird 10096 . . . . . . . 8
105103mulid2d 9679 . . . . . . . . 9
106 df-3 10691 . . . . . . . . . . . . 13
107106oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12
108 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . 14
109 expp1 12317 . . . . . . . . . . . . . 14
110103, 108, 109sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
111 absresq 13442 . . . . . . . . . . . . . . 15
11219, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
113112oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
114110, 113eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
115107, 114syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
11779recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
11823a1i 11 . . . . . . . . . . 11
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11
120117, 103, 118, 119div23d 10442 . . . . . . . . . 10
121116, 120eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9
122105, 121oveq12d 6326 . . . . . . . 8
123104, 122eqtrd 2505 . . . . . . 7
12420, 97absrpcld 13587 . . . . . . . . . . 11
125124rpgt0d 11367 . . . . . . . . . 10
126 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11
127 ltle 9740 . . . . . . . . . . . 12
128102, 78, 127sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10
130 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11
131 elioc2 11722 . . . . . . . . . . 11
132130, 78, 131mp2an 686 . . . . . . . . . 10
133102, 125, 129, 132syl3anbrc 1214 . . . . . . . . 9
134 sin01bnd 14316 . . . . . . . . 9
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8
136135simpld 466 . . . . . . 7
137123, 136eqbrtrd 4416 . . . . . 6
138102resincld 14274 . . . . . . 7
13984, 138, 124ltmuldivd 11408 . . . . . 6
140137, 139mpbid 215 . . . . 5
141 fveq2 5879 . . . . . . . 8
142 id 22 . . . . . . . 8
143141, 142oveq12d 6326 . . . . . . 7
144143a1i 11 . . . . . 6
145 sinneg 14277 . . . . . . . . . 10
14620, 145syl 17 . . . . . . . . 9
147146oveq1d 6323 . . . . . . . 8
14896recnd 9687 . . . . . . . . 9
149148, 20, 97div2negd 10420 . . . . . . . 8
150147, 149eqtrd 2505 . . . . . . 7
151 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
152 id 22 . . . . . . . . 9
153151, 152oveq12d 6326 . . . . . . . 8
154153eqeq1d 2473 . . . . . . 7
155150, 154syl5ibrcom 230 . . . . . 6
15619absord 13554 . . . . . 6
157144, 155, 156mpjaod 388 . . . . 5
158140, 157breqtrd 4420 . . . 4
15984, 98, 158ltled 9800 . . 3
160159, 77, 953brtr4d 4426 . 2
16178a1i 11 . . . 4
162135simprd 470 . . . . . . 7
163103mulid1d 9678 . . . . . . 7
164162, 163breqtrrd 4422 . . . . . 6
165138, 161, 124ltdivmuld 11412 . . . . . 6
166164, 165mpbird 240 . . . . 5
167157, 166eqbrtrrd 4418 . . . 4
16898, 161, 167ltled 9800 . . 3
16995, 168eqbrtrd 4416 . 2
1701, 3, 66, 70, 85, 99, 160, 169climsqz 13781 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wtru 1453   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   ccom 4843   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c3 10682  cn0 10893  cuz 11182  crp 11325  cioc 11661  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625  csin 14193  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652  ccncf 21986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988 This theorem is referenced by:  sinccvg  30389
 Copyright terms: Public domain W3C validator