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Theorem sinccvglem 27453
Description:  ( ( sin `  x
)  /  x )  ~~>  1 as (real)  x  ~~>  0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
sinccvg.2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
sinccvg.3  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
sinccvg.4  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
sinccvg.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
sinccvg.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, H    k, M    ph, k    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 sinccvg.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnzd 10849 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 sinccvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
5 sinccvg.4 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
65funmpt2 5555 . . . . 5  |-  Fun  H
7 sinccvg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
8 nnex 10431 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
9 fex 6051 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e. 
_V )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 cofunexg 6643 . . . . 5  |-  ( ( Fun  H  /\  F  e.  _V )  ->  ( H  o.  F )  e.  _V )
126, 10, 11sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  _V )
137adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F : NN
--> ( RR  \  {
0 } ) )
14 nnuz 10999 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1514uztrn2 10981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
162, 15sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
1713, 16ffvelrnd 5945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
18 eldifsn 4100 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  =/=  0 ) )
1917, 18sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `
 k )  =/=  0 ) )
2019simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2120recnd 9515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
22 ax-1cn 9443 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
23 sqcl 12031 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
24 3cn 10499 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
25 3ne0 10519 . . . . . . . 8  |-  3  =/=  0
26 divcl 10103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2724, 25, 26mp3an23 1307 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2823, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
29 subcl 9712 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
3022, 28, 29sylancr 663 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
315, 30fmpti 5967 . . . 4  |-  H : CC
--> CC
32 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3332cnfldtopon 20480 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
3522a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
3634, 34, 35cnmptc 19353 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3732sqcn 20568 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3932divccn 20567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4024, 25, 39mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
42 oveq1 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x ^
2 )  ->  (
y  /  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) )
4334, 38, 34, 41, 42cnmpt11 19354 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4432subcn 20560 . . . . . . . . 9  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4544a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4634, 36, 43, 45cnmpt12f 19357 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4746trud 1379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4832cncfcn1 20604 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4947, 5, 483eltr4i 2552 . . . . 5  |-  H  e.  ( CC -cn-> CC )
50 cncfi 20588 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  ( CC
-cn-> CC )  /\  0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
5149, 50mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
52 fvco3 5869 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  o.  F
) `  k )  =  ( H `  ( F `  k ) ) )
537, 52sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H  o.  F ) `
 k )  =  ( H `  ( F `  k )
) )
5416, 53syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( H `  ( F `
 k ) ) )
551, 4, 12, 3, 21, 31, 51, 54climcn1lem 13184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  ( H ` 
0 ) )
56 0cn 9481 . . . 4  |-  0  e.  CC
57 sq0i 12061 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  0 )
5857oveq1d 6207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( 0  / 
3 ) )
5924, 25div0i 10168 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  3 )  =  0
6058, 59syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  0 )
6160oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  0 ) )
62 1m0e1 10535 . . . . . 6  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6361, 62syl6eq 2508 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  1 )
64 1ex 9484 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6563, 5, 64fvmpt 5875 . . . 4  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( H `  0 )  =  1 )
6656, 65ax-mp 5 . . 3  |-  ( H `
 0 )  =  1
6755, 66syl6breq 4431 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  1 )
68 sinccvg.3 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
6968funmpt2 5555 . . 3  |-  Fun  G
70 cofunexg 6643 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  F  e.  _V )  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
7169, 10, 70sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  _V )
72 oveq1 6199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
7372oveq1d 6207 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )
7473oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) ) )
75 ovex 6217 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e. 
_V
7674, 5, 75fvmpt 5875 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  k ) )  =  ( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
7721, 76syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  k
) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
7854, 77eqtrd 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
79 1re 9488 . . . 4  |-  1  e.  RR
8020resqcld 12137 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
81 3nn 10583 . . . . 5  |-  3  e.  NN
82 nndivre 10460 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
8380, 81, 82sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
84 resubcl 9776 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
8579, 83, 84sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e.  RR )
8678, 85eqeltrd 2539 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  e.  RR )
87 fvco3 5869 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G  o.  F
) `  k )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
887, 87sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G  o.  F ) `
 k )  =  ( G `  ( F `  k )
) )
8916, 88syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
90 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  ( F `  k )
) )
91 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  x  =  ( F `  k ) )
9290, 91oveq12d 6210 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  x
)  /  x )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
93 ovex 6217 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) )  e. 
_V
9492, 68, 93fvmpt 5875 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) )
9517, 94syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9689, 95eqtrd 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9720resincld 13531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  RR )
9819simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
9997, 20, 98redivcld 10262 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  e.  RR )
10096, 99eqeltrd 2539 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  RR )
10122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
10283recnd 9515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
10321abscld 13026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
104103recnd 9515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
105101, 102, 104subdird 9904 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  -  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
106104mulid2d 9507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
107 df-3 10484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
108107oveq2i 6203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )
109 2nn0 10699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
110 expp1 11975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
111104, 109, 110sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
112 absresq 12895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
11320, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
114113oveq1d 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
115111, 114eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
116108, 115syl5eq 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
117116oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  3
) )
11880recnd 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  e.  CC )
12025a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  =/=  0 )
121118, 104, 119, 120div23d 10247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
3 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
122117, 121eqtr2d 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )
123106, 122oveq12d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  -  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )
124105, 123eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) ) )
12521, 98absrpcld 13038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR+ )
126125rpgt0d 11133 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
127 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
128 ltle 9566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  1  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  1 ) )
129103, 79, 128sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
130127, 129mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
)
131 0xr 9533 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
132 elioc2 11461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) ) )
133131, 79, 132mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
134103, 126, 130, 133syl3anbrc 1172 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  ( 0 (,] 1 ) )
135 sin01bnd 13573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
137136simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `  k
) ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
138124, 137eqbrtrd 4412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
139103resincld 13531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
14085, 139, 125ltmuldivd 11173 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <-> 
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
141138, 140mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
142 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  ( F `
 k ) ) )
143 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
144142, 143oveq12d 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
145144a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) ) )
146 sinneg 13534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( F `  k ) )  = 
-u ( sin `  ( F `  k )
) )
14721, 146syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  -u ( F `  k
) )  =  -u ( sin `  ( F `
 k ) ) )
148147oveq1d 6207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  (
-u ( sin `  ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
14997recnd 9515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  CC )
150149, 21, 98div2negd 10225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -u ( sin `  ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
151148, 150eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
152 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  -u ( F `  k )
) )
153 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k ) )
154152, 153oveq12d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
155154eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  <-> 
( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
)  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) ) )
156151, 155syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) ) )
15720absord 13006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  =  -u ( F `  k ) ) )
158145, 156, 157mpjaod 381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
159141, 158breqtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
16085, 99, 159ltled 9625 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  <_ 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
161160, 78, 963brtr4d 4422 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  <_  (
( G  o.  F
) `  k )
)
16279a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
163136simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  k ) ) )
164104mulid1d 9506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
165163, 164breqtrrd 4418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) )
166139, 162, 125ltdivmuld 11177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  1  <->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) ) )
167165, 166mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  1 )
168158, 167eqbrtrrd 4414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <  1
)
16999, 162, 168ltled 9625 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <_  1
)
17096, 169eqbrtrd 4412 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  <_  1
)
1711, 3, 67, 71, 86, 100, 161, 170climsqz 13222 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3070    \ cdif 3425   {csn 3977   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450    o. ccom 4944   Fun wfun 5512   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698   -ucneg 9699    / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   3c3 10475   NN0cn0 10682   ZZ>=cuz 10964   RR+crp 11094   (,]cioc 11404   ^cexp 11968   abscabs 12827    ~~> cli 13066   sincsin 13453   TopOpenctopn 14464  ℂfldccnfld 17929  TopOnctopon 18617    Cn ccn 18946    tX ctx 19251   -cn->ccncf 20570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572
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