Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinccvglem Structured version   Unicode version

Theorem sinccvglem 28501
 Description: as (real) . (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1
sinccvg.2
sinccvg.3
sinccvg.4
sinccvg.5
sinccvg.6
Assertion
Ref Expression
sinccvglem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . 2
2 sinccvg.5 . . 3
32nnzd 10956 . 2
4 sinccvg.2 . . . 4
5 sinccvg.4 . . . . . 6
65funmpt2 5618 . . . . 5
7 sinccvg.1 . . . . . 6
8 nnex 10533 . . . . . 6
9 fex 6126 . . . . . 6
107, 8, 9sylancl 662 . . . . 5
11 cofunexg 6740 . . . . 5
126, 10, 11sylancr 663 . . . 4
137adantr 465 . . . . . . . 8
14 nnuz 11108 . . . . . . . . . 10
1514uztrn2 11090 . . . . . . . . 9
162, 15sylan 471 . . . . . . . 8
1713, 16ffvelrnd 6015 . . . . . . 7
18 eldifsn 4147 . . . . . . 7
1917, 18sylib 196 . . . . . 6
2019simpld 459 . . . . 5
2120recnd 9613 . . . 4
22 ax-1cn 9541 . . . . . 6
23 sqcl 12187 . . . . . . 7
24 3cn 10601 . . . . . . . 8
25 3ne0 10621 . . . . . . . 8
26 divcl 10204 . . . . . . . 8
2724, 25, 26mp3an23 1311 . . . . . . 7
2823, 27syl 16 . . . . . 6
29 subcl 9810 . . . . . 6
3022, 28, 29sylancr 663 . . . . 5
315, 30fmpti 6037 . . . 4
32 eqid 2462 . . . . . . . . . 10 fld fld
3332cnfldtopon 21020 . . . . . . . . 9 fld TopOn
3433a1i 11 . . . . . . . 8 fld TopOn
3522a1i 11 . . . . . . . . 9
3634, 34, 35cnmptc 19893 . . . . . . . 8 fld fld
3732sqcn 21108 . . . . . . . . . 10 fld fld
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld
3932divccn 21107 . . . . . . . . . . 11 fld fld
4024, 25, 39mp2an 672 . . . . . . . . . 10 fld fld
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld
42 oveq1 6284 . . . . . . . . 9
4334, 38, 34, 41, 42cnmpt11 19894 . . . . . . . 8 fld fld
4432subcn 21100 . . . . . . . . 9 fld fld fld
4544a1i 11 . . . . . . . 8 fld fld fld
4634, 36, 43, 45cnmpt12f 19897 . . . . . . 7 fld fld
4746trud 1383 . . . . . 6 fld fld
4832cncfcn1 21144 . . . . . 6 fld fld
4947, 5, 483eltr4i 2563 . . . . 5
50 cncfi 21128 . . . . 5
5149, 50mp3an1 1306 . . . 4
52 fvco3 5937 . . . . . 6
537, 52sylan 471 . . . . 5
5416, 53syldan 470 . . . 4
551, 4, 12, 3, 21, 31, 51, 54climcn1lem 13376 . . 3
56 0cn 9579 . . . 4
57 sq0i 12217 . . . . . . . . 9
5857oveq1d 6292 . . . . . . . 8
5924, 25div0i 10269 . . . . . . . 8
6058, 59syl6eq 2519 . . . . . . 7
6160oveq2d 6293 . . . . . 6
62 1m0e1 10637 . . . . . 6
6361, 62syl6eq 2519 . . . . 5
64 1ex 9582 . . . . 5
6563, 5, 64fvmpt 5943 . . . 4
6656, 65ax-mp 5 . . 3
6755, 66syl6breq 4481 . 2
68 sinccvg.3 . . . 4
6968funmpt2 5618 . . 3
70 cofunexg 6740 . . 3
7169, 10, 70sylancr 663 . 2
72 oveq1 6284 . . . . . . . 8
7372oveq1d 6292 . . . . . . 7
7473oveq2d 6293 . . . . . 6
75 ovex 6302 . . . . . 6
7674, 5, 75fvmpt 5943 . . . . 5
7721, 76syl 16 . . . 4
7854, 77eqtrd 2503 . . 3
79 1re 9586 . . . 4
8020resqcld 12293 . . . . 5
81 3nn 10685 . . . . 5
82 nndivre 10562 . . . . 5
8380, 81, 82sylancl 662 . . . 4
84 resubcl 9874 . . . 4
8579, 83, 84sylancr 663 . . 3
8678, 85eqeltrd 2550 . 2
87 fvco3 5937 . . . . . 6
887, 87sylan 471 . . . . 5
8916, 88syldan 470 . . . 4
90 fveq2 5859 . . . . . . 7
91 id 22 . . . . . . 7
9290, 91oveq12d 6295 . . . . . 6
93 ovex 6302 . . . . . 6
9492, 68, 93fvmpt 5943 . . . . 5
9517, 94syl 16 . . . 4
9689, 95eqtrd 2503 . . 3
9720resincld 13730 . . . 4
9819simprd 463 . . . 4
9997, 20, 98redivcld 10363 . . 3
10096, 99eqeltrd 2550 . 2
10122a1i 11 . . . . . . . . 9
10283recnd 9613 . . . . . . . . 9
10321abscld 13218 . . . . . . . . . 10
104103recnd 9613 . . . . . . . . 9
105101, 102, 104subdird 10004 . . . . . . . 8
106104mulid2d 9605 . . . . . . . . 9
107 df-3 10586 . . . . . . . . . . . . 13
108107oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . 12
109 2nn0 10803 . . . . . . . . . . . . . 14
110 expp1 12131 . . . . . . . . . . . . . 14
111104, 109, 110sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
112 absresq 13087 . . . . . . . . . . . . . . 15
11320, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
114113oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13
115111, 114eqtrd 2503 . . . . . . . . . . . 12
116108, 115syl5eq 2515 . . . . . . . . . . 11
117116oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10
11880recnd 9613 . . . . . . . . . . 11
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11
12025a1i 11 . . . . . . . . . . 11
121118, 104, 119, 120div23d 10348 . . . . . . . . . 10
122117, 121eqtr2d 2504 . . . . . . . . 9
123106, 122oveq12d 6295 . . . . . . . 8
124105, 123eqtrd 2503 . . . . . . 7
12521, 98absrpcld 13230 . . . . . . . . . . 11
126125rpgt0d 11250 . . . . . . . . . 10
127 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11
128 ltle 9664 . . . . . . . . . . . 12
129103, 79, 128sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
130127, 129mpd 15 . . . . . . . . . 10
131 0xr 9631 . . . . . . . . . . 11
132 elioc2 11578 . . . . . . . . . . 11
133131, 79, 132mp2an 672 . . . . . . . . . 10
134103, 126, 130, 133syl3anbrc 1175 . . . . . . . . 9
135 sin01bnd 13772 . . . . . . . . 9
136134, 135syl 16 . . . . . . . 8
137136simpld 459 . . . . . . 7
138124, 137eqbrtrd 4462 . . . . . 6
139103resincld 13730 . . . . . . 7
14085, 139, 125ltmuldivd 11290 . . . . . 6
141138, 140mpbid 210 . . . . 5
142 fveq2 5859 . . . . . . . 8
143 id 22 . . . . . . . 8
144142, 143oveq12d 6295 . . . . . . 7
145144a1i 11 . . . . . 6
146 sinneg 13733 . . . . . . . . . 10
14721, 146syl 16 . . . . . . . . 9
148147oveq1d 6292 . . . . . . . 8
14997recnd 9613 . . . . . . . . 9
150149, 21, 98div2negd 10326 . . . . . . . 8
151148, 150eqtrd 2503 . . . . . . 7
152 fveq2 5859 . . . . . . . . 9
153 id 22 . . . . . . . . 9
154152, 153oveq12d 6295 . . . . . . . 8
155154eqeq1d 2464 . . . . . . 7
156151, 155syl5ibrcom 222 . . . . . 6
15720absord 13198 . . . . . 6
158145, 156, 157mpjaod 381 . . . . 5
159141, 158breqtrd 4466 . . . 4
16085, 99, 159ltled 9723 . . 3
161160, 78, 963brtr4d 4472 . 2
16279a1i 11 . . . 4
163136simprd 463 . . . . . . 7
164104mulid1d 9604 . . . . . . 7
165163, 164breqtrrd 4468 . . . . . 6
166139, 162, 125ltdivmuld 11294 . . . . . 6
167165, 166mpbird 232 . . . . 5
168158, 167eqbrtrrd 4464 . . . 4
16999, 162, 168ltled 9723 . . 3
17096, 169eqbrtrd 4462 . 2
1711, 3, 67, 71, 86, 100, 161, 170climsqz 13414 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wtru 1375   wcel 1762   wne 2657  wral 2809  wrex 2810  cvv 3108   cdif 3468  csn 4022   class class class wbr 4442   cmpt 4500   ccom 4998   wfun 5575  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6277  cc 9481  cr 9482  cc0 9483  c1 9484   caddc 9486   cmul 9488  cxr 9618   clt 9619   cle 9620   cmin 9796  cneg 9797   cdiv 10197  cn 10527  c2 10576  c3 10577  cn0 10786  cuz 11073  crp 11211  cioc 11521  cexp 12124  cabs 13019   cli 13258  csin 13652  ctopn 14668  ℂfldccnfld 18186  TopOnctopon 19157   ccn 19486   ctx 19791  ccncf 21110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112 This theorem is referenced by:  sinccvg  28502
 Copyright terms: Public domain W3C validator