MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinbnd Structured version   Unicode version

Theorem sinbnd 13779
Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sinbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )

Proof of Theorem sinbnd
StepHypRef Expression
1 recoscl 13740 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
21sqge0d 12306 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )
3 resincl 13739 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
43resqcld 12305 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
51resqcld 12305 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
64, 5addge01d 10141 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  A ) ^
2 )  <_  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
72, 6mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
8 recn 9583 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
9 sincossq 13775 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 sq1 12231 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1210, 11syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1 ^ 2 ) )
137, 12breqtrd 4471 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
14 1re 9596 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
15 0le1 10077 . . . . . 6  |-  0  <_  1
16 lenegsq 13119 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
18 lenegcon1 10057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  A )  <_  1  <->  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) )
1914, 18mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  A
)  <_  1  <->  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) )
2019anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) ) )
2117, 20bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) ) )
223, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) ) )
2313, 22mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) )
2423ancomd 451 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    <_ cle 9630   -ucneg 9807   2c2 10586   ^cexp 12135   sincsin 13664   cosccos 13665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-sin 13670  df-cos 13671
This theorem is referenced by:  sinbnd2  13781  sinltx  13788  abssinbd  31294  wallispilem1  31592
  Copyright terms: Public domain W3C validator