MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Unicode version

Theorem sinasin 23417
Description: The arcsine function is an inverse to  sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or  sin
^ -u 1. Because  sin is not an injection, the other converse identity asinsin 23420 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 23401 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  e.  CC )
2 sinval 13939 . . 3  |-  ( (arcsin `  A )  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
4 ax-icn 9540 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
64, 5mpan 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
76negcld 9909 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
_i  x.  A )  e.  CC )
8 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 sqcl 12212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 subcl 9810 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
1211sqrtcld 13350 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 7, 12pnpcan2d 9960 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u (
_i  x.  A )
) )
14 efiasin 23416 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
15 mulneg12 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
164, 1, 15sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
17 asinneg 23414 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
1817oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
1916, 18eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )
2019fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) ) )
21 negcl 9811 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
22 efiasin 23416 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
24 mulneg2 9990 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
254, 24mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A ) )
26 sqneg 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
2726oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
2827fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
2925, 28oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3020, 23, 293eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  (
-u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )
3114, 30oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3262timesd 10777 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
33 2cn 10602 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
34 mulass 9569 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
3533, 4, 34mp3an12 1312 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
366, 6subnegd 9929 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A ) ) )
3732, 35, 363eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) ) )
3813, 31, 373eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A ) )
39 mulcl 9565 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
404, 1, 39sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
41 efcl 13900 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
43 negicn 9812 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
44 mulcl 9565 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
4543, 1, 44sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
46 efcl 13900 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  e.  CC )
4842, 47subcld 9922 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  e.  CC )
49 id 22 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
50 2mulicn 10758 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  e.  CC )
52 2muline0 10759 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
5352a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  =/=  0 )
5448, 49, 51, 53divmul2d 10349 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A )
) )
5538, 54mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A )
563, 55eqtrd 2495 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148   expce 13879   sincsin 13881  arcsincasin 23390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-asin 23393
This theorem is referenced by:  cosacos  23418  asinsinb  23425
  Copyright terms: Public domain W3C validator