MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Unicode version

Theorem sinasin 23086
Description: The arcsine function is an inverse to  sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or  sin
^ -u 1. Because  sin is not an injection, the other converse identity asinsin 23089 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 23070 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  e.  CC )
2 sinval 13735 . . 3  |-  ( (arcsin `  A )  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
4 ax-icn 9563 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 mulcl 9588 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
64, 5mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
76negcld 9929 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
_i  x.  A )  e.  CC )
8 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 sqcl 12210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 subcl 9831 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
1211sqrtcld 13248 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 7, 12pnpcan2d 9980 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u (
_i  x.  A )
) )
14 efiasin 23085 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
15 mulneg12 10007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
164, 1, 15sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
17 asinneg 23083 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
1817oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
1916, 18eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )
2019fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) ) )
21 negcl 9832 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
22 efiasin 23085 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
24 mulneg2 10006 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
254, 24mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A ) )
26 sqneg 12208 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
2726oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
2827fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
2925, 28oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3020, 23, 293eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  (
-u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )
3114, 30oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3262timesd 10793 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
33 2cn 10618 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
34 mulass 9592 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
3533, 4, 34mp3an12 1314 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
366, 6subnegd 9949 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A ) ) )
3732, 35, 363eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) ) )
3813, 31, 373eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A ) )
39 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
404, 1, 39sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
41 efcl 13697 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
43 negicn 9833 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
44 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
4543, 1, 44sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
46 efcl 13697 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  e.  CC )
4842, 47subcld 9942 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  e.  CC )
49 id 22 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
50 2mulicn 10774 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  e.  CC )
52 2muline0 10775 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
5352a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  =/=  0 )
5448, 49, 51, 53divmul2d 10365 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A )
) )
5538, 54mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A )
563, 55eqtrd 2508 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13046   expce 13676   sincsin 13678  arcsincasin 23059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-asin 23062
This theorem is referenced by:  cosacos  23087  asinsinb  23094
  Copyright terms: Public domain W3C validator