Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Unicode version

Theorem sinasin 23086
 Description: The arcsine function is an inverse to . This is the main property that justifies the notation arcsin or . Because is not an injection, the other converse identity asinsin 23089 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin arcsin

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 23070 . . 3 arcsin
2 sinval 13735 . . 3 arcsin arcsin arcsin arcsin
31, 2syl 16 . 2 arcsin arcsin arcsin
4 ax-icn 9563 . . . . . 6
5 mulcl 9588 . . . . . 6
64, 5mpan 670 . . . . 5
76negcld 9929 . . . . 5
8 ax-1cn 9562 . . . . . . 7
9 sqcl 12210 . . . . . . 7
10 subcl 9831 . . . . . . 7
118, 9, 10sylancr 663 . . . . . 6
1211sqrtcld 13248 . . . . 5
136, 7, 12pnpcan2d 9980 . . . 4
14 efiasin 23085 . . . . 5 arcsin
15 mulneg12 10007 . . . . . . . . 9 arcsin arcsin arcsin
164, 1, 15sylancr 663 . . . . . . . 8 arcsin arcsin
17 asinneg 23083 . . . . . . . . 9 arcsin arcsin
1817oveq2d 6311 . . . . . . . 8 arcsin arcsin
1916, 18eqtr4d 2511 . . . . . . 7 arcsin arcsin
2019fveq2d 5876 . . . . . 6 arcsin arcsin
21 negcl 9832 . . . . . . 7
22 efiasin 23085 . . . . . . 7 arcsin
2321, 22syl 16 . . . . . 6 arcsin
24 mulneg2 10006 . . . . . . . 8
254, 24mpan 670 . . . . . . 7
26 sqneg 12208 . . . . . . . . 9
2726oveq2d 6311 . . . . . . . 8
2827fveq2d 5876 . . . . . . 7
2925, 28oveq12d 6313 . . . . . 6
3020, 23, 293eqtrd 2512 . . . . 5 arcsin
3114, 30oveq12d 6313 . . . 4 arcsin arcsin
3262timesd 10793 . . . . 5
33 2cn 10618 . . . . . 6
34 mulass 9592 . . . . . 6
3533, 4, 34mp3an12 1314 . . . . 5
366, 6subnegd 9949 . . . . 5
3732, 35, 363eqtr4d 2518 . . . 4
3813, 31, 373eqtr4d 2518 . . 3 arcsin arcsin
39 mulcl 9588 . . . . . . 7 arcsin arcsin
404, 1, 39sylancr 663 . . . . . 6 arcsin
41 efcl 13697 . . . . . 6 arcsin arcsin
4240, 41syl 16 . . . . 5 arcsin
43 negicn 9833 . . . . . . 7
44 mulcl 9588 . . . . . . 7 arcsin arcsin
4543, 1, 44sylancr 663 . . . . . 6 arcsin
46 efcl 13697 . . . . . 6 arcsin arcsin
4745, 46syl 16 . . . . 5 arcsin
4842, 47subcld 9942 . . . 4 arcsin arcsin
49 id 22 . . . 4
50 2mulicn 10774 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4
52 2muline0 10775 . . . . 5
5352a1i 11 . . . 4
5448, 49, 51, 53divmul2d 10365 . . 3 arcsin arcsin arcsin arcsin
5538, 54mpbird 232 . 2 arcsin arcsin
563, 55eqtrd 2508 1 arcsin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cc0 9504  c1 9505  ci 9506   caddc 9507   cmul 9509   cmin 9817  cneg 9818   cdiv 10218  c2 10597  cexp 12146  csqrt 13046  ce 13676  csin 13678  arcsincasin 23059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-asin 23062 This theorem is referenced by:  cosacos  23087  asinsinb  23094
 Copyright terms: Public domain W3C validator