MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinadd Structured version   Unicode version

Theorem sinadd 13444
Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd
StepHypRef Expression
1 addcl 9360 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 sinval 13402 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
4 2cn 10388 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
6 ax-icn 9337 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
8 coscl 13407 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
98adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
10 sincl 13406 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
1110adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  B
)  e.  CC )
129, 11mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
13 sincl 13406 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1413adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
15 coscl 13407 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
1615adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  B
)  e.  CC )
1714, 16mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
1812, 17addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )  e.  CC )
195, 7, 18mulassd 9405 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) ) ) ) )
207, 12, 17adddid 9406 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )
217, 9, 11mul12d 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2214, 16mulcomd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )
2322oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
247, 16, 14mul12d 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2523, 24eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2621, 25oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2720, 26eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2827oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
2919, 28eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
30 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
316, 11, 30sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
329, 31mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  e.  CC )
33 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
346, 14, 33sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
3632, 35addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
37 mulcl 9362 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
384, 36, 37sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  e.  CC )
39 2mulicn 10544 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  e.  CC )
41 2muline0 10545 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  =/=  0 )
4338, 40, 18, 42divmuld 10125 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
4429, 43mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
459, 16mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
4631, 34mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
4745, 46addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
4847, 36, 36pnncand 9754 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  -  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
49 adddi 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
506, 49mp3an1 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
5150fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
52 simpl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
53 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
546, 52, 53sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
55 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
56 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
576, 55, 56sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
58 efadd 13375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
5954, 57, 58syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
60 efival 13432 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
61 efival 13432 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  +  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
6260, 61oveqan12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
639, 34, 16, 31muladdd 9798 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
6462, 63eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
6551, 59, 643eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
66 negicn 9607 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
67 adddi 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
6866, 67mp3an1 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
6968fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) ) )
70 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
7166, 52, 70sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
72 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
7366, 55, 72sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
74 efadd 13375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
7571, 73, 74syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
76 efmival 13433 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
77 efmival 13433 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
7876, 77oveqan12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) ) )
799, 34, 16, 31mulsubd 9799 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  -  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8078, 79eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8169, 75, 803eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8265, 81oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  -  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
83362timesd 10563 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8448, 82, 833eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8584oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
8617, 12addcomd 9567 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
8744, 85, 863eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
883, 87eqtrd 2473 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   expce 13343   sincsin 13345   cosccos 13346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352
This theorem is referenced by:  tanadd  13447  sinsub  13448  addsin  13450  subsin  13451  sin2t  13457  demoivreALT  13481  sinppi  21894  sinhalfpip  21897
  Copyright terms: Public domain W3C validator