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Theorem sinadd 13453
Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd
StepHypRef Expression
1 addcl 9369 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 sinval 13411 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
4 2cn 10397 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
6 ax-icn 9346 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
8 coscl 13416 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
10 sincl 13415 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
1110adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  B
)  e.  CC )
129, 11mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
13 sincl 13415 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
15 coscl 13416 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
1615adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  B
)  e.  CC )
1714, 16mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
1812, 17addcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )  e.  CC )
195, 7, 18mulassd 9414 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) ) ) ) )
207, 12, 17adddid 9415 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )
217, 9, 11mul12d 9583 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2214, 16mulcomd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )
2322oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
247, 16, 14mul12d 9583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2523, 24eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2621, 25oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2720, 26eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2827oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
2919, 28eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
30 mulcl 9371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
316, 11, 30sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
329, 31mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  e.  CC )
33 mulcl 9371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
346, 14, 33sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
3632, 35addcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
37 mulcl 9371 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
384, 36, 37sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  e.  CC )
39 2mulicn 10553 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  e.  CC )
41 2muline0 10554 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  =/=  0 )
4338, 40, 18, 42divmuld 10134 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
4429, 43mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
459, 16mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
4631, 34mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
4745, 46addcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
4847, 36, 36pnncand 9763 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  -  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
49 adddi 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
506, 49mp3an1 1301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
5150fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
52 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
53 mulcl 9371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
546, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
55 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
56 mulcl 9371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
576, 55, 56sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
58 efadd 13384 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
5954, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
60 efival 13441 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
61 efival 13441 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  +  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
6260, 61oveqan12d 6115 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
639, 34, 16, 31muladdd 9807 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
6462, 63eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
6551, 59, 643eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
66 negicn 9616 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
67 adddi 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
6866, 67mp3an1 1301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
6968fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) ) )
70 mulcl 9371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
7166, 52, 70sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
72 mulcl 9371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
7366, 55, 72sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
74 efadd 13384 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
76 efmival 13442 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
77 efmival 13442 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
7876, 77oveqan12d 6115 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) ) )
799, 34, 16, 31mulsubd 9808 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  -  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8078, 79eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8169, 75, 803eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8265, 81oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  -  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
83362timesd 10572 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8448, 82, 833eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8584oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
8617, 12addcomd 9576 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
8744, 85, 863eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
883, 87eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   _ici 9289    + caddc 9290    x. cmul 9292    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   2c2 10376   expce 13352   sincsin 13354   cosccos 13355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361
This theorem is referenced by:  tanadd  13456  sinsub  13457  addsin  13459  subsin  13460  sin2t  13466  demoivreALT  13490  sinppi  21956  sinhalfpip  21959
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