MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin4lt0 Structured version   Unicode version

Theorem sin4lt0 13802
Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin4lt0  |-  ( sin `  4 )  <  0

Proof of Theorem sin4lt0
StepHypRef Expression
1 2t2e4 10686 . . . 4  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
21fveq2i 5855 . . 3  |-  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( sin `  4 )
3 2cn 10607 . . . 4  |-  2  e.  CC
4 sin2t 13784 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )
62, 5eqtr3i 2472 . 2  |-  ( sin `  4 )  =  ( 2  x.  (
( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) ) )
7 sincos2sgn 13801 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
87simpri 462 . . . . . 6  |-  ( cos `  2 )  <  0
9 2re 10606 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
10 recoscl 13748 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( cos `  2 )  e.  RR )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( cos `  2 )  e.  RR
12 0re 9594 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
13 resincl 13747 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( sin `  2 )  e.  RR )
149, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  2 )  e.  RR
157simpli 458 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( sin `  2
)
1614, 15pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  2
) )
17 ltmul2 10394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  2
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( sin `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )  -> 
( ( cos `  2
)  <  0  <->  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 ) ) )
1811, 12, 16, 17mp3an 1323 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  2 )  <  0  <->  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 ) )
198, 18mpbi 208 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 )
2014recni 9606 . . . . . 6  |-  ( sin `  2 )  e.  CC
2120mul01i 9768 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  0 )  =  0
2219, 21breqtri 4456 . . . 4  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  0
2314, 11remulcli 9608 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  e.  RR
24 2pos 10628 . . . . . 6  |-  0  <  2
259, 24pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
26 ltmul2 10394 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  0  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 ) ) )
2723, 12, 25, 26mp3an 1323 . . . 4  |-  ( ( ( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) )  <  0  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 ) )
2822, 27mpbi 208 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 )
293mul01i 9768 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
3028, 29breqtri 4456 . 2  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  <  0
316, 30eqbrtri 4452 1  |-  ( sin `  4 )  <  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    x. cmul 9495    < clt 9626   2c2 10586   4c4 10588   sincsin 13672   cosccos 13673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679
This theorem is referenced by:  pilem3  22713
  Copyright terms: Public domain W3C validator