MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin4lt0 Structured version   Unicode version

Theorem sin4lt0 14227
Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin4lt0  |-  ( sin `  4 )  <  0

Proof of Theorem sin4lt0
StepHypRef Expression
1 2t2e4 10759 . . . 4  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
21fveq2i 5884 . . 3  |-  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( sin `  4 )
3 2cn 10680 . . . 4  |-  2  e.  CC
4 sin2t 14209 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )
62, 5eqtr3i 2460 . 2  |-  ( sin `  4 )  =  ( 2  x.  (
( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) ) )
7 sincos2sgn 14226 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
87simpri 463 . . . . . 6  |-  ( cos `  2 )  <  0
9 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
10 recoscl 14173 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( cos `  2 )  e.  RR )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( cos `  2 )  e.  RR
12 0re 9642 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
13 resincl 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( sin `  2 )  e.  RR )
149, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  2 )  e.  RR
157simpli 459 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( sin `  2
)
1614, 15pm3.2i 456 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  2
) )
17 ltmul2 10455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  2
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( sin `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )  -> 
( ( cos `  2
)  <  0  <->  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 ) ) )
1811, 12, 16, 17mp3an 1360 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  2 )  <  0  <->  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 ) )
198, 18mpbi 211 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 )
2014recni 9654 . . . . . 6  |-  ( sin `  2 )  e.  CC
2120mul01i 9822 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  0 )  =  0
2219, 21breqtri 4449 . . . 4  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  0
2314, 11remulcli 9656 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  e.  RR
24 2pos 10701 . . . . . 6  |-  0  <  2
259, 24pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
26 ltmul2 10455 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  0  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 ) ) )
2723, 12, 25, 26mp3an 1360 . . . 4  |-  ( ( ( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) )  <  0  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 ) )
2822, 27mpbi 211 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 )
293mul01i 9822 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
3028, 29breqtri 4449 . 2  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  <  0
316, 30eqbrtri 4445 1  |-  ( sin `  4 )  <  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    x. cmul 9543    < clt 9674   2c2 10659   4c4 10661   sincsin 14094   cosccos 14095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102
This theorem is referenced by:  pilem3  23274  pilem3OLD  23275
  Copyright terms: Public domain W3C validator