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Theorem sin2h 28375
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 9378 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 2re 10383 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 pire 21896 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
42, 3remulcli 9392 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5 iccssre 11369 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) )  C_  RR )
61, 4, 5mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
76sseli 3347 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
87rehalfcld 10563 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
98resincld 13419 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
10 1re 9377 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
11 recoscl 13417 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
12 resubcl 9665 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1413rehalfcld 10563 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
15 cosbnd 13457 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
1615simprd 463 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
17 subge0 9844 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
1810, 11, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
19 halfnneg2 10548 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2013, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2216, 21mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
2314, 22resqrcld 12896 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
247, 23syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
251, 4elicc2i 11353 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  (
2  x.  pi ) ) )
26 halfnneg2 10548 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  2 ) ) )
27 2pos 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
282, 27pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
29 ledivmul 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <_  pi 
<->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
303, 28, 29mp3an23 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  <_  pi  <->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
3130bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  ( 2  x.  pi )  <->  ( A  /  2 )  <_  pi ) )
3226, 31anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( 0  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  pi )
) )
33 rehalfcl 10543 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3433rexrd 9425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
35 0xr 9422 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
363rexri 9428 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
37 elicc4 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3835, 36, 37mp3an12 1304 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3934, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
4032, 39bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
4140biimpd 207 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  / 
2 )  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
42413impib 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
4325, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
44 sinq12ge0 21945 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4543, 44syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4614, 22sqrge0d 12899 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
477, 46syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
487recnd 9404 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  CC )
49 ax-1cn 9332 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
50 coscl 13403 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
51 subcl 9601 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5249, 50, 51sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5352halfcld 10561 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
5453sqsqrd 12917 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
55 halfcl 10542 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
56 coscl 13403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
5756sqcld 11998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
58 2cn 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
59 mulcom 9360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6160oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
6258mulid2i 9381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
63 df-2 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6462, 63eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  ( 1  +  1 )
6564oveq1i 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6661, 65syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
67 subdir 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6849, 58, 67mp3an13 1305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
70 mulcl 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7158, 57, 70sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
72 subsub3 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7349, 49, 72mp3an13 1305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7471, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7566, 69, 743eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( 1  -  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
76 sincl 13402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
7776sqcld 11998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7877, 57pncand 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
79 sincossq 13452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
8079oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8178, 80eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8281oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 ) )
83 cos2t 13454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8483oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
8575, 82, 843eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
8655, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
87 2ne0 10406 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
88 divcan2 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
8958, 87, 88mp3an23 1306 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
9089fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
9190oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9286, 91eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9392oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
9455sincld 13406 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
9594sqcld 11998 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
96 divcan4 10011 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9758, 87, 96mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9895, 97syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9954, 93, 983eqtr2rd 2477 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
10048, 99syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 12036 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   2c2 10363   [,]cicc 11295   ^cexp 11857   sqrcsqr 12714   sincsin 13341   cosccos 13342   picpi 13344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317
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