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Theorem sin2h 29622
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 9592 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 2re 10601 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 pire 22585 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
42, 3remulcli 9606 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5 iccssre 11602 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) )  C_  RR )
61, 4, 5mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
76sseli 3500 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
87rehalfcld 10781 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
98resincld 13735 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
10 1re 9591 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
11 recoscl 13733 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
12 resubcl 9879 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1413rehalfcld 10781 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
15 cosbnd 13773 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
1615simprd 463 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
17 subge0 10061 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
1810, 11, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
19 halfnneg2 10766 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2013, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2216, 21mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
2314, 22resqrtcld 13208 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
247, 23syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
251, 4elicc2i 11586 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  (
2  x.  pi ) ) )
26 halfnneg2 10766 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  2 ) ) )
27 2pos 10623 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
282, 27pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
29 ledivmul 10414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <_  pi 
<->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
303, 28, 29mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  <_  pi  <->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
3130bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  ( 2  x.  pi )  <->  ( A  /  2 )  <_  pi ) )
3226, 31anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( 0  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  pi )
) )
33 rehalfcl 10761 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3433rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
35 0xr 9636 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
363rexri 9642 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
37 elicc4 11587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3835, 36, 37mp3an12 1314 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3934, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
4032, 39bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
4140biimpd 207 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  / 
2 )  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
42413impib 1194 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
4325, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
44 sinq12ge0 22634 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4543, 44syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4614, 22sqrtge0d 13211 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
477, 46syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
487recnd 9618 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  CC )
49 ax-1cn 9546 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
50 coscl 13719 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
51 subcl 9815 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5249, 50, 51sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5352halfcld 10779 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
5453sqsqrtd 13229 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
55 halfcl 10760 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
56 coscl 13719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
5756sqcld 12272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
58 2cn 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
59 mulcom 9574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6160oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
6258mulid2i 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
63 df-2 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6462, 63eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  ( 1  +  1 )
6564oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6661, 65syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
67 subdir 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6849, 58, 67mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
70 mulcl 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7158, 57, 70sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
72 subsub3 9847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7349, 49, 72mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7471, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7566, 69, 743eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( 1  -  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
76 sincl 13718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
7776sqcld 12272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7877, 57pncand 9927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
79 sincossq 13768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
8079oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8178, 80eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8281oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 ) )
83 cos2t 13770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8483oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
8575, 82, 843eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
8655, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
87 2ne0 10624 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
88 divcan2 10211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
8958, 87, 88mp3an23 1316 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
9089fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
9190oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9286, 91eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9392oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
9455sincld 13722 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
9594sqcld 12272 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
96 divcan4 10228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9758, 87, 96mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9895, 97syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9954, 93, 983eqtr2rd 2515 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
10048, 99syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 12310 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   [,]cicc 11528   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   sincsin 13657   cosccos 13658   picpi 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
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