Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Unicode version

Theorem sin2h 31397
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 9625 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 2re 10645 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 pire 23141 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
42, 3remulcli 9639 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5 iccssre 11658 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) )  C_  RR )
61, 4, 5mp2an 670 . . . . 5  |-  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
76sseli 3437 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
87rehalfcld 10825 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
98resincld 14085 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
10 1re 9624 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
11 recoscl 14083 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
12 resubcl 9918 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1413rehalfcld 10825 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
15 cosbnd 14123 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
1615simprd 461 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
17 subge0 10105 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
1810, 11, 17sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
19 halfnneg2 10810 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2013, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2216, 21mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
2314, 22resqrtcld 13396 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
247, 23syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
251, 4elicc2i 11642 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  (
2  x.  pi ) ) )
26 halfnneg2 10810 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  2 ) ) )
27 2pos 10667 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
282, 27pm3.2i 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
29 ledivmul 10458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <_  pi 
<->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
303, 28, 29mp3an23 1318 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  <_  pi  <->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
3130bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  ( 2  x.  pi )  <->  ( A  /  2 )  <_  pi ) )
3226, 31anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( 0  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  pi )
) )
33 rehalfcl 10805 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3433rexrd 9672 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
35 0xr 9669 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
363rexri 9675 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
37 elicc4 11643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3835, 36, 37mp3an12 1316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3934, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
4032, 39bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
4140biimpd 207 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  / 
2 )  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
42413impib 1195 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
4325, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
44 sinq12ge0 23191 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4543, 44syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4614, 22sqrtge0d 13399 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
477, 46syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
487recnd 9651 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  CC )
49 ax-1cn 9579 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
50 coscl 14069 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
51 subcl 9854 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5249, 50, 51sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5352halfcld 10823 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
5453sqsqrtd 13417 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
55 halfcl 10804 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
56 coscl 14069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
5756sqcld 12350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
58 2cn 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
59 mulcom 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6057, 58, 59sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6160oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
6258mulid2i 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
63 df-2 10634 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6462, 63eqtri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  ( 1  +  1 )
6564oveq1i 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6661, 65syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
67 subdir 10031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6849, 58, 67mp3an13 1317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
70 mulcl 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7158, 57, 70sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
72 subsub3 9886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7349, 49, 72mp3an13 1317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7566, 69, 743eqtr4d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( 1  -  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
76 sincl 14068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
7776sqcld 12350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7877, 57pncand 9967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
79 sincossq 14118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
8079oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8178, 80eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8281oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 ) )
83 cos2t 14120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8483oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
8575, 82, 843eqtr4d 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
8655, 85syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
87 2ne0 10668 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
88 divcan2 10255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
8958, 87, 88mp3an23 1318 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
9089fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
9190oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9286, 91eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9392oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
9455sincld 14072 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
9594sqcld 12350 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
96 divcan4 10272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9758, 87, 96mp3an23 1318 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9895, 97syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9954, 93, 983eqtr2rd 2450 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
10048, 99syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 12388 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841    / cdiv 10246   2c2 10625   [,]cicc 11584   ^cexp 12208   sqrcsqrt 13213   sincsin 14006   cosccos 14007   picpi 14009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561
This theorem is referenced by:  tan2h  31399
  Copyright terms: Public domain W3C validator