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Theorem sin2h 28563
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 9490 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 2re 10495 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 pire 22047 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
42, 3remulcli 9504 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5 iccssre 11481 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) )  C_  RR )
61, 4, 5mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
76sseli 3453 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
87rehalfcld 10675 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
98resincld 13538 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
10 1re 9489 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
11 recoscl 13536 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
12 resubcl 9777 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1413rehalfcld 10675 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
15 cosbnd 13576 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
1615simprd 463 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
17 subge0 9956 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
1810, 11, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
19 halfnneg2 10660 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2013, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2216, 21mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
2314, 22resqrcld 13015 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
247, 23syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
251, 4elicc2i 11465 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  (
2  x.  pi ) ) )
26 halfnneg2 10660 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  2 ) ) )
27 2pos 10517 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
282, 27pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
29 ledivmul 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <_  pi 
<->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
303, 28, 29mp3an23 1307 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  <_  pi  <->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
3130bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  ( 2  x.  pi )  <->  ( A  /  2 )  <_  pi ) )
3226, 31anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( 0  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  pi )
) )
33 rehalfcl 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3433rexrd 9537 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
35 0xr 9534 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
363rexri 9540 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
37 elicc4 11466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3835, 36, 37mp3an12 1305 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3934, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
4032, 39bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
4140biimpd 207 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  / 
2 )  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
42413impib 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
4325, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
44 sinq12ge0 22096 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4543, 44syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4614, 22sqrge0d 13018 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
477, 46syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
487recnd 9516 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  CC )
49 ax-1cn 9444 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
50 coscl 13522 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
51 subcl 9713 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5249, 50, 51sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5352halfcld 10673 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
5453sqsqrd 13036 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
55 halfcl 10654 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
56 coscl 13522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
5756sqcld 12116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
58 2cn 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
59 mulcom 9472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6160oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
6258mulid2i 9493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
63 df-2 10484 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6462, 63eqtri 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  ( 1  +  1 )
6564oveq1i 6203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6661, 65syl6eq 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
67 subdir 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6849, 58, 67mp3an13 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
70 mulcl 9470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7158, 57, 70sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
72 subsub3 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7349, 49, 72mp3an13 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7471, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7566, 69, 743eqtr4d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( 1  -  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
76 sincl 13521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
7776sqcld 12116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7877, 57pncand 9824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
79 sincossq 13571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
8079oveq1d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8178, 80eqtr3d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8281oveq1d 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 ) )
83 cos2t 13573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8483oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
8575, 82, 843eqtr4d 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
8655, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
87 2ne0 10518 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
88 divcan2 10106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
8958, 87, 88mp3an23 1307 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
9089fveq2d 5796 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
9190oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9286, 91eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9392oveq1d 6208 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
9455sincld 13525 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
9594sqcld 12116 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
96 divcan4 10123 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9758, 87, 96mp3an23 1307 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9895, 97syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9954, 93, 983eqtr2rd 2499 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
10048, 99syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 12154 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699   -ucneg 9700    / cdiv 10097   2c2 10475   [,]cicc 11407   ^cexp 11975   sqrcsqr 12833   sincsin 13460   cosccos 13461   picpi 13463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468
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