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Theorem sin2h 31899
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 9650 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 2re 10686 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 pire 23411 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
42, 3remulcli 9664 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5 iccssre 11723 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) )  C_  RR )
61, 4, 5mp2an 676 . . . . 5  |-  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
76sseli 3460 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
87rehalfcld 10866 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
98resincld 14196 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
10 1re 9649 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
11 recoscl 14194 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
12 resubcl 9945 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancr 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1413rehalfcld 10866 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
15 cosbnd 14234 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
1615simprd 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
17 subge0 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
1810, 11, 17sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
19 halfnneg2 10851 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2013, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2118, 20bitr3d 258 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2216, 21mpbid 213 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
2314, 22resqrtcld 13479 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
247, 23syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
251, 4elicc2i 11707 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  (
2  x.  pi ) ) )
26 halfnneg2 10851 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  2 ) ) )
27 2pos 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
282, 27pm3.2i 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
29 ledivmul 10488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <_  pi 
<->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
303, 28, 29mp3an23 1352 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  <_  pi  <->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
3130bicomd 204 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  ( 2  x.  pi )  <->  ( A  /  2 )  <_  pi ) )
3226, 31anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( 0  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  pi )
) )
33 rehalfcl 10846 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3433rexrd 9697 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
35 0xr 9694 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
363rexri 9700 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
37 elicc4 11708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3835, 36, 37mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
3934, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( 0  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_  pi ) ) )
4032, 39bitr4d 259 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
4140biimpd 210 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  / 
2 )  e.  ( 0 [,] pi ) ) )
42413impib 1203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
4325, 42sylbi 198 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )
44 sinq12ge0 23461 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4543, 44syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
4614, 22sqrtge0d 13482 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
477, 46syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
487recnd 9676 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  CC )
49 ax-1cn 9604 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
50 coscl 14180 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
51 subcl 9881 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5249, 50, 51sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
5352halfcld 10864 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
5453sqsqrtd 13500 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
55 halfcl 10845 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
56 coscl 14180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
5756sqcld 12420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
58 2cn 10687 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
59 mulcom 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6057, 58, 59sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6160oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
6258mulid2i 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
63 df-2 10675 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6462, 63eqtri 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  ( 1  +  1 )
6564oveq1i 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6661, 65syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  2 )  -  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
67 subdir 10060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6849, 58, 67mp3an13 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( ( 1  x.  2 )  -  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 ) ) )
70 mulcl 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7158, 57, 70sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
72 subsub3 9913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7349, 49, 72mp3an13 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
7566, 69, 743eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 )  =  ( 1  -  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
76 sincl 14179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
7776sqcld 12420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7877, 57pncand 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
79 sincossq 14229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
8079oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8178, 80eqtr3d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8281oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( ( 1  -  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  x.  2 ) )
83 cos2t 14231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8483oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
8575, 82, 843eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
8655, 85syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) ) )
87 2ne0 10709 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
88 divcan2 10285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
8958, 87, 88mp3an23 1352 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
9089fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
9190oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9286, 91eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  =  ( 1  -  ( cos `  A ) ) )
9392oveq1d 6320 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
9455sincld 14183 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
9594sqcld 12420 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
96 divcan4 10302 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9758, 87, 96mp3an23 1352 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9895, 97syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9954, 93, 983eqtr2rd 2470 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
10048, 99syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 12458 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   -ucneg 9868    / cdiv 10276   2c2 10666   [,]cicc 11645   ^cexp 12278   sqrcsqrt 13296   sincsin 14115   cosccos 14116   picpi 14118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820
This theorem is referenced by:  tan2h  31901
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