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Theorem sin01bnd 12741
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9087 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 10929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 972 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76resin4p 12694 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( Im
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( sin `  A
) )
105resincld 12699 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
1110recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 3nn0 10195 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
13 reexpcl 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  RR )
145, 12, 13sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  RR )
15 6nn 10093 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
16 nndivre 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  6
)  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  RR )
185, 17resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  RR )
1918recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  CC )
20 ax-icn 9005 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
215recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
22 mulcl 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2320, 21, 22sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
24 4nn0 10196 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
256eftlcl 12663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2726imcld 11955 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2827recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2911, 19, 28subaddd 9385 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( sin `  A
) ) )
309, 29mpbird 224 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
3130fveq2d 5691 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) ) )
3228abscld 12193 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3326abscld 12193 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
34 absimle 12069 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3526, 34syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 11353 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 24, 36sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 9991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 15, 38sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 12740 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
4112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  3  e.  NN0 )
42 4nn 10091 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
4342nnzi 10261 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
44 3re 10027 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
45 4re 10029 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
46 3lt4 10101 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
4744, 45, 46ltleii 9152 . . . . . . . . 9  |-  3  <_  4
48 3nn 10090 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4948nnzi 10261 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
5049eluz1i 10451 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5143, 47, 50mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
534simp2bi 973 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
54 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
55 ltle 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5654, 5, 55sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5753, 56mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
584simp3bi 974 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
595, 41, 52, 57, 58leexp2rd 11511 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 ) )
60 6re 10032 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
62 6pos 10044 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
64 lediv1 9831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6537, 14, 61, 63, 64syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6659, 65mpbid 202 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )
6733, 39, 17, 40, 66ltletrd 9186 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )
6832, 33, 17, 35, 67lelttrd 9184 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6931, 68eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
7010, 18, 17absdifltd 12191 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) ) )
7117recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  CC )
7221, 71, 71subsub4d 9398 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( ( A ^ 3 )  / 
6 )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) )
7314recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
74 3cn 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
75 3ne0 10041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
7674, 75pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
77 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
78 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
7977, 78pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
80 divdiv1 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) ) )
8176, 79, 80mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
83 3t2e6 10084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8483oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  6
)
8582, 84syl6req 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 ) )
8685, 85oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
) ) )
87 nndivre 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
8814, 48, 87sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
8988recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
90892halvesd 10169 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9186, 90eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9291oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( (
( A ^ 3 )  /  6 )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9372, 92eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9493breq1d 4182 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A )  <->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
) ) )
9521, 71npcand 9371 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  A )
9695breq2d 4184 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <->  ( sin `  A )  <  A
) )
9794, 96anbi12d 692 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) ) )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9870, 97bitrd 245 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9969, 98mpbid 202 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   6c6 10009   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   !cfa 11521   Imcim 11858   abscabs 11994   sum_csu 12434   sincsin 12621
This theorem is referenced by:  sinltx  12745  sin01gt0  12746  tangtx  20366  sinccvglem  25062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627
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