Theorem sin01bnd 14239

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 9687	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 11697	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1023	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	resin4p 14192	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) )
10	5	resincld 14197	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. RR )
11	10	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
12		3nn0 10887	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
13		reexpcl 12289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
14	5, 12, 13	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
15		6nn 10771	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
16		nndivre 10645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
17	14, 15, 16	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
18	5, 17	resubcld 10047	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. RR )
19	18	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. CC )
20		ax-icn 9598	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
21	5	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
22		mulcl 9623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
24		4nn0 10888	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
25	6	eftlcl 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
27	26	imcld 13258	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
28	27	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
29	11, 19, 28	subaddd 10004	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) ) )
30	9, 29	mpbird 236	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
31	30	fveq2d 5869	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) = ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
32	28	abscld 13498	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
33	26	abscld 13498	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
34		absimle 13372	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	26, 34	syl 17	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 12289	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 24, 36	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 10645	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 15, 38	sylancl 668	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 14238	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 3 e. NN0 )
42		4z 10971	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
43		3re 10683	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
44		4re 10686	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
45		3lt4 10779	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
46	43, 44, 45	ltleii 9757	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 4
47		3nn 10768	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
48	47	nnzi 10961	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
49	48	eluz1i 11166	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
50	42, 46, 49	mpbir2an 931	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) )
52	4	simp2bi 1024	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
53		0re 9643	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
54		ltle 9722	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	53, 5, 54	sylancr 669	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	52, 55	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
57	4	simp3bi 1025	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
58	5, 41, 51, 56, 57	leexp2rd 12449	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) )
59		6re 10690	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
61		6pos 10708	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
63		lediv1 10470	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 3 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
64	37, 14, 60, 62, 63	syl112anc 1272	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
65	58, 64	mpbid 214	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
66	33, 39, 17, 40, 65	ltletrd 9795	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
67	32, 33, 17, 35, 66	lelttrd 9793	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
68	31, 67	eqbrtrd 4423	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
69	10, 18, 17	absdifltd 13495	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) )
70	17	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. CC )
71	21, 70, 70	subsub4d 10017	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) )
72	14	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
73		3cn 10684	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
74		3ne0 10704	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 =/= 0
75	73, 74	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
76		2cnne0 10824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
77		divdiv1 10318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
78	75, 76, 77	mp3an23 1356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A ^ 3 ) e. CC -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
79	72, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
80		3t2e6 10761	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. 2 ) = 6
81	80	oveq2i 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 6 )
82	79, 81	syl6req 2502	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) = ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) )
83	82, 82	oveq12d 6308	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) )
84		nndivre 10645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
85	14, 47, 84	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
86	85	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. CC )
87	86	2halvesd 10858	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
88	83, 87	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
89	88	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
90	71, 89	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
91	90	breq1d 4412	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) <-> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) ) )
92	21, 70	npcand 9990	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = A )
93	92	breq2d 4414	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) <-> ( sin ` A ) < A ) )
94	91, 93	anbi12d 717	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
95	69, 94	bitrd 257	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
96	68, 95	mpbid 214	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   6c6 10663   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,]cioc 11636   ^cexp 12272   !cfa 12459   Imcim 13161   abscabs 13297   sum_csu 13752   sincsin 14116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123

This theorem is referenced by:  sinltx  14243  sin01gt0  14244  tangtx  23460  sinccvglem  30316