Theorem sin01bnd 12741

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 9087	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 9046	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 10929	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 654	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 972	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	resin4p 12694	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2409	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) )
10	5	resincld 12699	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. RR )
11	10	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
12		3nn0 10195	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
13		reexpcl 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
14	5, 12, 13	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
15		6nn 10093	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
16		nndivre 9991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
17	14, 15, 16	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
18	5, 17	resubcld 9421	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. RR )
19	18	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. CC )
20		ax-icn 9005	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
21	5	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
22		mulcl 9030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
24		4nn0 10196	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
25	6	eftlcl 12663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
27	26	imcld 11955	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
28	27	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
29	11, 19, 28	subaddd 9385	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) ) )
30	9, 29	mpbird 224	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
31	30	fveq2d 5691	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) = ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
32	28	abscld 12193	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
33	26	abscld 12193	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
34		absimle 12069	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	26, 34	syl 16	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 11353	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 24, 36	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 9991	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 15, 38	sylancl 644	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 12740	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 3 e. NN0 )
42		4nn 10091	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
43	42	nnzi 10261	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
44		3re 10027	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
45		4re 10029	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
46		3lt4 10101	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 9152	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 4
48		3nn 10090	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
49	48	nnzi 10261	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
50	49	eluz1i 10451	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
51	43, 47, 50	mpbir2an 887	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) )
53	4	simp2bi 973	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
54		0re 9047	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
55		ltle 9119	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	54, 5, 55	sylancr 645	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
57	53, 56	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
58	4	simp3bi 974	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
59	5, 41, 52, 57, 58	leexp2rd 11511	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) )
60		6re 10032	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
61	60	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
62		6pos 10044	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
64		lediv1 9831	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 3 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
65	37, 14, 61, 63, 64	syl112anc 1188	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
66	59, 65	mpbid 202	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
67	33, 39, 17, 40, 66	ltletrd 9186	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
68	32, 33, 17, 35, 67	lelttrd 9184	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
69	31, 68	eqbrtrd 4192	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
70	10, 18, 17	absdifltd 12191	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) )
71	17	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. CC )
72	21, 71, 71	subsub4d 9398	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) )
73	14	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
74		3cn 10028	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
75		3ne0 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 =/= 0
76	74, 75	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
77		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
78		2ne0 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
79	77, 78	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
80		divdiv1 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
81	76, 79, 80	mp3an23 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A ^ 3 ) e. CC -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
82	73, 81	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
83		3t2e6 10084	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. 2 ) = 6
84	83	oveq2i 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 6 )
85	82, 84	syl6req 2453	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) = ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) )
86	85, 85	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) )
87		nndivre 9991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
88	14, 48, 87	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
89	88	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. CC )
90	89	2halvesd 10169	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
91	86, 90	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
92	91	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
93	72, 92	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
94	93	breq1d 4182	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) <-> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) ) )
95	21, 71	npcand 9371	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = A )
96	95	breq2d 4184	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) <-> ( sin ` A ) < A ) )
97	94, 96	anbi12d 692	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
98	70, 97	bitrd 245	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
99	69, 98	mpbid 202	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   6c6 10009   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   !cfa 11521   Imcim 11858   abscabs 11994   sum_csu 12434   sincsin 12621

This theorem is referenced by:  sinltx  12745  sin01gt0  12746  tangtx  20366  sinccvglem  25062

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627