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Theorem sin01bnd 14239
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9687 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 9642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 1023 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76resin4p 14192 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( Im
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( sin `  A
) )
105resincld 14197 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
1110recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 3nn0 10887 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
13 reexpcl 12289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  RR )
145, 12, 13sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  RR )
15 6nn 10771 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
16 nndivre 10645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  6
)  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  RR )
185, 17resubcld 10047 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  RR )
1918recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  CC )
20 ax-icn 9598 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
215recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
22 mulcl 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2320, 21, 22sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
24 4nn0 10888 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
256eftlcl 14161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2623, 24, 25sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2726imcld 13258 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2827recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2911, 19, 28subaddd 10004 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( sin `  A
) ) )
309, 29mpbird 236 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
3130fveq2d 5869 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) ) )
3228abscld 13498 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3326abscld 13498 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
34 absimle 13372 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3526, 34syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 12289 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 24, 36sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 10645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 15, 38sylancl 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 14238 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
4112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  3  e.  NN0 )
42 4z 10971 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43 3re 10683 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
44 4re 10686 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
45 3lt4 10779 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
4643, 44, 45ltleii 9757 . . . . . . . . 9  |-  3  <_  4
47 3nn 10768 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4847nnzi 10961 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
4948eluz1i 11166 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5042, 46, 49mpbir2an 931 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
524simp2bi 1024 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
53 0re 9643 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
54 ltle 9722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5553, 5, 54sylancr 669 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5652, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
574simp3bi 1025 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
585, 41, 51, 56, 57leexp2rd 12449 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 ) )
59 6re 10690 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
61 6pos 10708 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
63 lediv1 10470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6437, 14, 60, 62, 63syl112anc 1272 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6558, 64mpbid 214 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )
6633, 39, 17, 40, 65ltletrd 9795 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )
6732, 33, 17, 35, 66lelttrd 9793 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6831, 67eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6910, 18, 17absdifltd 13495 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) ) )
7017recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  CC )
7121, 70, 70subsub4d 10017 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( ( A ^ 3 )  / 
6 )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) )
7214recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
73 3cn 10684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
74 3ne0 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
7573, 74pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
76 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
77 divdiv1 10318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) ) )
7875, 76, 77mp3an23 1356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
7972, 78syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
80 3t2e6 10761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8180oveq2i 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  6
)
8279, 81syl6req 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 ) )
8382, 82oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
) ) )
84 nndivre 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
8514, 47, 84sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
8685recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
87862halvesd 10858 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
8883, 87eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
8988oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( (
( A ^ 3 )  /  6 )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9071, 89eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9190breq1d 4412 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A )  <->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
) ) )
9221, 70npcand 9990 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  A )
9392breq2d 4414 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <->  ( sin `  A )  <  A
) )
9491, 93anbi12d 717 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) ) )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9569, 94bitrd 257 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9668, 95mpbid 214 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   6c6 10663   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,]cioc 11636   ^cexp 12272   !cfa 12459   Imcim 13161   abscabs 13297   sum_csu 13752   sincsin 14116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123
This theorem is referenced by:  sinltx  14243  sin01gt0  14244  tangtx  23460  sinccvglem  30316
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