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Theorem siilem1 25893
Description: Lemma for sii 25896. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
siii.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
siii.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
siii.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
siii.a  |-  A  e.  X
siii.b  |-  B  e.  X
sii1.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
sii1.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
sii1.c  |-  C  e.  CC
sii1.r  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
sii1.z  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
Assertion
Ref Expression
siilem1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 siii.6 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
43phnvi 25858 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  X
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e.  CC
76cjcli 13014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( * `
 C )  e.  CC
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  X
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
101, 9nvscl 25648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
* `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
114, 7, 8, 10mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C ) S B )  e.  X
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( -v `  U
)
131, 12nvmcl 25669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )  -> 
( A M ( ( * `  C
) S B ) )  e.  X )
144, 5, 11, 13mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X
151, 2, 4, 14nvcli 25690 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  e.  RR
1615sqge0i 12258 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
1714, 5, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
191, 12, 18dipsubdi 25891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
203, 17, 19mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  -  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
211, 2, 18ipidsq 25750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X )  ->  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) )  =  ( ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^
2 ) )
224, 14, 21mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
237, 8, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
241, 9, 18dipass 25887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
268, 6, 83pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
271, 9, 18dipassr2 25889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) ) )
283, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) )
291, 2, 18ipidsq 25750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
304, 8, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 )
3130oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  x.  ( B P B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3228, 31eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3332oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3425, 33eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3534oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
3635oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
371, 2, 4, 5nvcli 25690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 A )  e.  RR
3837recni 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 A )  e.  CC
3938sqcli 12251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
401, 18dipcl 25752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
414, 8, 5, 40mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B P A )  e.  CC
427, 41mulcli 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
4443recni 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC
451, 2, 4, 8nvcli 25690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 B )  e.  RR
4645recni 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 B )  e.  CC
4746sqcli 12251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
486, 47mulcli 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  CC
497, 48mulcli 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
50 sub4 9883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC )  /\  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
5236, 51eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
535, 11, 53pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
541, 12, 18dipsubdir 25890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P A ) ) )
553, 53, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P A ) )
561, 2, 18ipidsq 25750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
574, 5, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 )
587, 8, 53pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
591, 9, 18dipass 25887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )
603, 58, 59mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )
6157, 60oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P A ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
6255, 61eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
635, 11, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
641, 12, 18dipsubdir 25890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C
) S B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
653, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
665, 6, 83pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
671, 9, 18dipassr2 25889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
683, 66, 67mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) )
6968oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7065, 69eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7162, 70oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) ) )
727, 41, 48subdii 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( B P A ) )  -  (
( * `  C
)  x.  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
7372oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7452, 71, 733eqtr4i 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7520, 22, 743eqtr3i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7616, 75breqtri 4479 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7741, 48subeq0i 9918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
78 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( * `
 C )  x.  0 ) )
797mul01i 9787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8177, 80sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8281oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 ) )
8337resqcli 12256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
8584, 44subcli 9914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  e.  CC
8685subid1i 9910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )
8782, 86syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8876, 87syl5breq 4491 . . . . . 6  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8983, 43subge0i 10127 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  <->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9088, 89sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9145resqcli 12256 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR
9245sqge0i 12258 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 )
9391, 92pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
9443, 83, 933pm3.2i 1174 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
95 lemul1a 10417 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  /\  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9694, 95mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A ) ^
2 )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9790, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9838, 46sqmuli 12254 . . . 4  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
9997, 98syl6breqr 4496 . . 3  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )
100 sii1.z . . . . 5  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
10143, 91mulge0i 10121 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
102100, 92, 101mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
10337, 45remulcli 9627 . . . . 5  |-  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) )  e.  RR
104103sqge0i 12258 . . . 4  |-  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )
10543, 91remulcli 9627 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  RR
106103resqcli 12256 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  e.  RR
107105, 106sqrtlei 13233 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  /\  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 )  <->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) ) ) )
108102, 104, 107mp2an 672 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )  <->  ( sqr `  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  <_  ( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
10999, 108sylib 196 . 2  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
1101, 18dipcl 25752 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
1114, 5, 8, 110mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( A P B )  e.  CC
1126, 111mulcomi 9619 . . . . 5  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  =  ( ( A P B )  x.  C
)
113112oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
11491recni 9625 . . . . 5  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
115111, 6, 114mulassi 9622 . . . 4  |-  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
116113, 115eqtri 2486 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
117116fveq2i 5875 . 2  |-  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
1181, 2nvge0 25704 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
1194, 5, 118mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  A
)
1201, 2nvge0 25704 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
1214, 8, 120mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  B
)
12237, 45mulge0i 10121 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( N `  A )  /\  0  <_  ( N `  B
) )  ->  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
123119, 121, 122mp2an 672 . . 3  |-  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
)
124103sqrtsqi 13219 . . 3  |-  ( 0  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
125123, 124ax-mp 5 . 2  |-  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) )
126109, 117, 1253brtr3g 4487 1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824   2c2 10606   ^cexp 12169   *ccj 12941   sqrcsqrt 13078   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   .sOLDcns 25607   -vcnsb 25609   normCVcnmcv 25610   .iOLDcdip 25737   CPreHil OLDccphlo 25854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621  df-dip 25738  df-ph 25855
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