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Theorem siilem1 24251
Description: Lemma for sii 24254. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
siii.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
siii.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
siii.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
siii.a  |-  A  e.  X
siii.b  |-  B  e.  X
sii1.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
sii1.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
sii1.c  |-  C  e.  CC
sii1.r  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
sii1.z  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
Assertion
Ref Expression
siilem1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 siii.6 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
43phnvi 24216 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  X
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e.  CC
76cjcli 12658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( * `
 C )  e.  CC
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  X
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
101, 9nvscl 24006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
* `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
114, 7, 8, 10mp3an 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C ) S B )  e.  X
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( -v `  U
)
131, 12nvmcl 24027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )  -> 
( A M ( ( * `  C
) S B ) )  e.  X )
144, 5, 11, 13mp3an 1314 . . . . . . . . . 10  |-  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X
151, 2, 4, 14nvcli 24048 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  e.  RR
1615sqge0i 11953 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
1714, 5, 113pm3.2i 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
191, 12, 18dipsubdi 24249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
203, 17, 19mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  -  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
211, 2, 18ipidsq 24108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X )  ->  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) )  =  ( ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^
2 ) )
224, 14, 21mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
237, 8, 113pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
241, 9, 18dipass 24245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
268, 6, 83pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
271, 9, 18dipassr2 24247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) ) )
283, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) )
291, 2, 18ipidsq 24108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
304, 8, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 )
3130oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  x.  ( B P B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3228, 31eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3332oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3425, 33eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3534oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
3635oveq2i 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
371, 2, 4, 5nvcli 24048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 A )  e.  RR
3837recni 9398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 A )  e.  CC
3938sqcli 11946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
401, 18dipcl 24110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
414, 8, 5, 40mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B P A )  e.  CC
427, 41mulcli 9391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
4443recni 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC
451, 2, 4, 8nvcli 24048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 B )  e.  RR
4645recni 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 B )  e.  CC
4746sqcli 11946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
486, 47mulcli 9391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  CC
497, 48mulcli 9391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
50 sub4 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC )  /\  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
5236, 51eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
535, 11, 53pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
541, 12, 18dipsubdir 24248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P A ) ) )
553, 53, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P A ) )
561, 2, 18ipidsq 24108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
574, 5, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 )
587, 8, 53pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
591, 9, 18dipass 24245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )
603, 58, 59mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )
6157, 60oveq12i 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P A ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
6255, 61eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
635, 11, 113pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
641, 12, 18dipsubdir 24248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C
) S B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
653, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
665, 6, 83pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
671, 9, 18dipassr2 24247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
683, 66, 67mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) )
6968oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7065, 69eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7162, 70oveq12i 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) ) )
727, 41, 48subdii 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( B P A ) )  -  (
( * `  C
)  x.  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
7372oveq2i 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7452, 71, 733eqtr4i 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7520, 22, 743eqtr3i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7616, 75breqtri 4315 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7741, 48subeq0i 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
78 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( * `
 C )  x.  0 ) )
797mul01i 9559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8177, 80sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8281oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 ) )
8337resqcli 11951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
8584, 44subcli 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  e.  CC
8685subid1i 9680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )
8782, 86syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8876, 87syl5breq 4327 . . . . . 6  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8983, 43subge0i 9893 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  <->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9088, 89sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9145resqcli 11951 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR
9245sqge0i 11953 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 )
9391, 92pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
9443, 83, 933pm3.2i 1166 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
95 lemul1a 10183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  /\  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9694, 95mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A ) ^
2 )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9790, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9838, 46sqmuli 11949 . . . 4  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
9997, 98syl6breqr 4332 . . 3  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )
100 sii1.z . . . . 5  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
10143, 91mulge0i 9887 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
102100, 92, 101mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
10337, 45remulcli 9400 . . . . 5  |-  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) )  e.  RR
104103sqge0i 11953 . . . 4  |-  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )
10543, 91remulcli 9400 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  RR
106103resqcli 11951 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  e.  RR
107105, 106sqrlei 12876 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  /\  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 )  <->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) ) ) )
108102, 104, 107mp2an 672 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )  <->  ( sqr `  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  <_  ( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
10999, 108sylib 196 . 2  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
1101, 18dipcl 24110 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
1114, 5, 8, 110mp3an 1314 . . . . . 6  |-  ( A P B )  e.  CC
1126, 111mulcomi 9392 . . . . 5  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  =  ( ( A P B )  x.  C
)
113112oveq1i 6101 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
11491recni 9398 . . . . 5  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
115111, 6, 114mulassi 9395 . . . 4  |-  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
116113, 115eqtri 2463 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
117116fveq2i 5694 . 2  |-  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
1181, 2nvge0 24062 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
1194, 5, 118mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  A
)
1201, 2nvge0 24062 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
1214, 8, 120mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  B
)
12237, 45mulge0i 9887 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( N `  A )  /\  0  <_  ( N `  B
) )  ->  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
123119, 121, 122mp2an 672 . . 3  |-  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
)
124103sqrsqi 12862 . . 3  |-  ( 0  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
125123, 124ax-mp 5 . 2  |-  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) )
126109, 117, 1253brtr3g 4323 1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282    x. cmul 9287    <_ cle 9419    - cmin 9595   2c2 10371   ^cexp 11865   *ccj 12585   sqrcsqr 12722   NrmCVeccnv 23962   BaseSetcba 23964   .sOLDcns 23965   -vcnsb 23967   normCVcnmcv 23968   .iOLDcdip 24095   CPreHil OLDccphlo 24212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-t1 18918  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-dip 24096  df-ph 24213
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