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Theorem siilem1 25458
Description: Lemma for sii 25461. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
siii.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
siii.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
siii.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
siii.a  |-  A  e.  X
siii.b  |-  B  e.  X
sii1.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
sii1.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
sii1.c  |-  C  e.  CC
sii1.r  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
sii1.z  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
Assertion
Ref Expression
siilem1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 siii.6 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
43phnvi 25423 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  X
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e.  CC
76cjcli 12964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( * `
 C )  e.  CC
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  X
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
101, 9nvscl 25213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
* `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
114, 7, 8, 10mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C ) S B )  e.  X
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( -v `  U
)
131, 12nvmcl 25234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )  -> 
( A M ( ( * `  C
) S B ) )  e.  X )
144, 5, 11, 13mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X
151, 2, 4, 14nvcli 25255 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  e.  RR
1615sqge0i 12222 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
1714, 5, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
191, 12, 18dipsubdi 25456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
203, 17, 19mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  -  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
211, 2, 18ipidsq 25315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X )  ->  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) )  =  ( ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^
2 ) )
224, 14, 21mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
237, 8, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
241, 9, 18dipass 25452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
268, 6, 83pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
271, 9, 18dipassr2 25454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) ) )
283, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) )
291, 2, 18ipidsq 25315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
304, 8, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 )
3130oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  x.  ( B P B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3228, 31eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3332oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3425, 33eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3534oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
3635oveq2i 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
371, 2, 4, 5nvcli 25255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 A )  e.  RR
3837recni 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 A )  e.  CC
3938sqcli 12215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
401, 18dipcl 25317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
414, 8, 5, 40mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B P A )  e.  CC
427, 41mulcli 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
4443recni 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC
451, 2, 4, 8nvcli 25255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 B )  e.  RR
4645recni 9607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 B )  e.  CC
4746sqcli 12215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
486, 47mulcli 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  CC
497, 48mulcli 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
50 sub4 9863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC )  /\  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
5236, 51eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
535, 11, 53pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
541, 12, 18dipsubdir 25455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P A ) ) )
553, 53, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P A ) )
561, 2, 18ipidsq 25315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
574, 5, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 )
587, 8, 53pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
591, 9, 18dipass 25452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )
603, 58, 59mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )
6157, 60oveq12i 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P A ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
6255, 61eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
635, 11, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
641, 12, 18dipsubdir 25455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C
) S B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
653, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
665, 6, 83pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
671, 9, 18dipassr2 25454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
683, 66, 67mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) )
6968oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7065, 69eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7162, 70oveq12i 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) ) )
727, 41, 48subdii 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( B P A ) )  -  (
( * `  C
)  x.  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
7372oveq2i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7452, 71, 733eqtr4i 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7520, 22, 743eqtr3i 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7616, 75breqtri 4470 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7741, 48subeq0i 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
78 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( * `
 C )  x.  0 ) )
797mul01i 9768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8177, 80sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8281oveq2d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 ) )
8337resqcli 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
8584, 44subcli 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  e.  CC
8685subid1i 9890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )
8782, 86syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8876, 87syl5breq 4482 . . . . . 6  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8983, 43subge0i 10105 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  <->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9088, 89sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9145resqcli 12220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR
9245sqge0i 12222 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 )
9391, 92pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
9443, 83, 933pm3.2i 1174 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
95 lemul1a 10395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  /\  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9694, 95mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A ) ^
2 )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9790, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9838, 46sqmuli 12218 . . . 4  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
9997, 98syl6breqr 4487 . . 3  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )
100 sii1.z . . . . 5  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
10143, 91mulge0i 10099 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
102100, 92, 101mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
10337, 45remulcli 9609 . . . . 5  |-  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) )  e.  RR
104103sqge0i 12222 . . . 4  |-  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )
10543, 91remulcli 9609 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  RR
106103resqcli 12220 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  e.  RR
107105, 106sqrtlei 13183 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  /\  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 )  <->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) ) ) )
108102, 104, 107mp2an 672 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )  <->  ( sqr `  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  <_  ( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
10999, 108sylib 196 . 2  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
1101, 18dipcl 25317 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
1114, 5, 8, 110mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( A P B )  e.  CC
1126, 111mulcomi 9601 . . . . 5  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  =  ( ( A P B )  x.  C
)
113112oveq1i 6293 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
11491recni 9607 . . . . 5  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
115111, 6, 114mulassi 9604 . . . 4  |-  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
116113, 115eqtri 2496 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
117116fveq2i 5868 . 2  |-  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
1181, 2nvge0 25269 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
1194, 5, 118mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  A
)
1201, 2nvge0 25269 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
1214, 8, 120mp2an 672 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  B
)
12237, 45mulge0i 10099 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( N `  A )  /\  0  <_  ( N `  B
) )  ->  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
123119, 121, 122mp2an 672 . . 3  |-  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
)
124103sqrtsqi 13169 . . 3  |-  ( 0  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
125123, 124ax-mp 5 . 2  |-  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) )
126109, 117, 1253brtr3g 4478 1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491    x. cmul 9496    <_ cle 9628    - cmin 9804   2c2 10584   ^cexp 12133   *ccj 12891   sqrcsqrt 13028   NrmCVeccnv 25169   BaseSetcba 25171   .sOLDcns 25172   -vcnsb 25174   normCVcnmcv 25175   .iOLDcdip 25302   CPreHil OLDccphlo 25419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-t1 19597  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-grpo 24885  df-gid 24886  df-ginv 24887  df-gdiv 24888  df-ablo 24976  df-vc 25131  df-nv 25177  df-va 25180  df-ba 25181  df-sm 25182  df-0v 25183  df-vs 25184  df-nmcv 25185  df-ims 25186  df-dip 25303  df-ph 25420
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