Theorem siii 9854

Description: Inference from sii 9855.

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	|- X = (BaseSet` U)
siii.6	|- N = (norm` U)
siii.7	|- P = (.i` U)
siii.9	|- U e. CPreHil
siii.a	|- A e. X
siii.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
siii	|- (abs` (APB)) <_ ((N` A) x. (N` B))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (B = (0v` U) -> (APB) = (AP(0v` U)))
2		siii.9	. . . . . . . 8 |- U e. CPreHil
3	2	phnvi 9816	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
4		siii.a	. . . . . . 7 |- A e. X
5		siii.1	. . . . . . . 8 |- X = (BaseSet` U)
6		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
7		siii.7	. . . . . . . 8 |- P = (.i` U)
8	5, 6, 7	ip0r 9709	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AP(0v` U)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 761	. . . . . 6 |- (AP(0v` U)) = 0
10	1, 9	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (B = (0v` U) -> (APB) = 0)
11	10	fveq2d 4685	. . . 4 |- (B = (0v` U) -> (abs` (APB)) = (abs` 0))
12		abs0 8129	. . . 4 |- (abs` 0) = 0
13	11, 12	syl6eq 1944	. . 3 |- (B = (0v` U) -> (abs` (APB)) = 0)
14		siii.6	. . . . . 6 |- N = (norm` U)
15	5, 14	nvge0 9634	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))
16	3, 4, 15	mp2an 761	. . . 4 |- 0 <_ (N` A)
17		siii.b	. . . . 5 |- B e. X
18	5, 14	nvge0 9634	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> 0 <_ (N` B))
19	3, 17, 18	mp2an 761	. . . 4 |- 0 <_ (N` B)
20	5, 14, 3, 4	nvcli 9620	. . . . 5 |- (N` A) e. RR
21	5, 14, 3, 17	nvcli 9620	. . . . 5 |- (N` B) e. RR
22	20, 21	mulge0i 6787	. . . 4 |- ((0 <_ (N` A) /\ 0 <_ (N` B)) -> 0 <_ ((N` A) x. (N` B)))
23	16, 19, 22	mp2an 761	. . 3 |- 0 <_ ((N` A) x. (N` B))
24	13, 23	syl6eqbr 3374	. 2 |- (B = (0v` U) -> (abs` (APB)) <_ ((N` A) x. (N` B)))
25	21	recni 6467	. . . . . . . . . . 11 |- (N` B) e. CC
26	25	sqeq0i 7861	. . . . . . . . . 10 |- (((N` B)^2) = 0 <-> (N` B) = 0)
27	5, 6, 14	nvz 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((N` B) = 0 <-> B = (0v` U)))
28	3, 17, 27	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- ((N` B) = 0 <-> B = (0v` U))
29	26, 28	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- (((N` B)^2) = 0 <-> B = (0v` U))
30	29	necon3bii 2032	. . . . . . . 8 |- (((N` B)^2) =/= 0 <-> B =/= (0v` U))
31	5, 7	ipcl 9704	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X) -> (BPA) e. CC)
32	3, 17, 4, 31	mp3an 1191	. . . . . . . . 9 |- (BPA) e. CC
33	21	resqcli 7868	. . . . . . . . . 10 |- ((N` B)^2) e. RR
34	33	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- ((N` B)^2) e. CC
35	32, 34	divcan1zi 6907	. . . . . . . 8 |- (((N` B)^2) =/= 0 -> (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)) = (BPA))
36	30, 35	sylbir 218	. . . . . . 7 |- (B =/= (0v` U) -> (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)) = (BPA))
37	5, 7	ipcj 9706	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (*` (APB)) = (BPA))
38	3, 4, 17, 37	mp3an 1191	. . . . . . 7 |- (*` (APB)) = (BPA)
39	36, 38	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (B =/= (0v` U) -> (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)) = (*` (APB)))
40	39	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (B =/= (0v` U) -> ((APB) x. (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2))) = ((APB) x. (*` (APB))))
41	40	fveq2d 4685	. . . 4 |- (B =/= (0v` U) -> (sqr` ((APB) x. (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)))) = (sqr` ((APB) x. (*` (APB)))))
42	5, 7	ipcl 9704	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
43	3, 4, 17, 42	mp3an 1191	. . . . 5 |- (APB) e. CC
44		absval 8012	. . . . 5 |- ((APB) e. CC -> (abs` (APB)) = (sqr` ((APB) x. (*` (APB)))))
45	43, 44	ax-mp 7	. . . 4 |- (abs` (APB)) = (sqr` ((APB) x. (*` (APB))))
46	41, 45	syl6reqr 1947	. . 3 |- (B =/= (0v` U) -> (abs` (APB)) = (sqr` ((APB) x. (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)))))
47	36	eqcomd 1889	. . . 4 |- (B =/= (0v` U) -> (BPA) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)))
48	32, 34	divclzi 6900	. . . . . 6 |- (((N` B)^2) =/= 0 -> ((BPA) / ((N` B)^2)) e. CC)
49	30, 48	sylbir 218	. . . . 5 |- (B =/= (0v` U) -> ((BPA) / ((N` B)^2)) e. CC)
50		div23 6925	. . . . . . . . . 10 |- (((BPA) e. CC /\ (APB) e. CC /\ (((N` B)^2) e. CC /\ ((N` B)^2) =/= 0)) -> (((BPA) x. (APB)) / ((N` B)^2)) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)))
51	32, 43, 50	mp3an12 1181	. . . . . . . . 9 |- ((((N` B)^2) e. CC /\ ((N` B)^2) =/= 0) -> (((BPA) x. (APB)) / ((N` B)^2)) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)))
52	34, 51	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (((N` B)^2) =/= 0 -> (((BPA) x. (APB)) / ((N` B)^2)) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)))
53	30, 52	sylbir 218	. . . . . . 7 |- (B =/= (0v` U) -> (((BPA) x. (APB)) / ((N` B)^2)) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)))
54	32, 43	mulcomi 6476	. . . . . . . . 9 |- ((BPA) x. (APB)) = ((APB) x. (BPA))
55	5, 7	ipipcj 9707	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((APB) x. (BPA)) = ((abs` (APB))^2))
56	3, 4, 17, 55	mp3an 1191	. . . . . . . . 9 |- ((APB) x. (BPA)) = ((abs` (APB))^2)
57	54, 56	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- ((BPA) x. (APB)) = ((abs` (APB))^2)
58	57	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- (((BPA) x. (APB)) / ((N` B)^2)) = (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2))
59	53, 58	syl5reqr 1943	. . . . . 6 |- (B =/= (0v` U) -> (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)) = (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)))
60	43	abscli 8090	. . . . . . . . 9 |- (abs` (APB)) e. RR
61	60	resqcli 7868	. . . . . . . 8 |- ((abs` (APB))^2) e. RR
62	61, 33	redivclzi 6977	. . . . . . 7 |- (((N` B)^2) =/= 0 -> (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)) e. RR)
63	30, 62	sylbir 218	. . . . . 6 |- (B =/= (0v` U) -> (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)) e. RR)
64	59, 63	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- (B =/= (0v` U) -> (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)) e. RR)
65	28	necon3bii 2032	. . . . . . . 8 |- ((N` B) =/= 0 <-> B =/= (0v` U))
66	21	sqgt0i 7872	. . . . . . . 8 |- ((N` B) =/= 0 -> 0 < ((N` B)^2))
67	65, 66	sylbir 218	. . . . . . 7 |- (B =/= (0v` U) -> 0 < ((N` B)^2))
68	60	sqge0i 7873	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ ((abs` (APB))^2)
69		divge0 7038	. . . . . . . . 9 |- (((((abs` (APB))^2) e. RR /\ 0 <_ ((abs` (APB))^2)) /\ (((N` B)^2) e. RR /\ 0 < ((N` B)^2))) -> 0 <_ (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)))
70	61, 68, 69	mpanl12 773	. . . . . . . 8 |- ((((N` B)^2) e. RR /\ 0 < ((N` B)^2)) -> 0 <_ (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)))
71	33, 70	mpan 759	. . . . . . 7 |- (0 < ((N` B)^2) -> 0 <_ (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)))
72	67, 71	syl 12	. . . . . 6 |- (B =/= (0v` U) -> 0 <_ (((abs` (APB))^2) / ((N` B)^2)))
73	72, 59	breqtrrd 3363	. . . . 5 |- (B =/= (0v` U) -> 0 <_ (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)))
74		eqid 1884	. . . . . 6 |- (-v` U) = (-v` U)
75		eqid 1884	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
76	5, 14, 7, 2, 4, 17, 74, 75	siilem2 9853	. . . . 5 |- ((((BPA) / ((N` B)^2)) e. CC /\ (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB)) e. RR /\ 0 <_ (((BPA) / ((N` B)^2)) x. (APB))) -> ((BPA) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)) -> (sqr` ((APB) x. (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)))) <_ ((N` A) x. (N` B))))
77	49, 64, 73, 76	syl111anc 1100	. . . 4 |- (B =/= (0v` U) -> ((BPA) = (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)) -> (sqr` ((APB) x. (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)))) <_ ((N` A) x. (N` B))))
78	47, 77	mpd 29	. . 3 |- (B =/= (0v` U) -> (sqr` ((APB) x. (((BPA) / ((N` B)^2)) x. ((N` B)^2)))) <_ ((N` A) x. (N` B)))
79	46, 78	eqbrtrd 3357	. 2 |- (B =/= (0v` U) -> (abs` (APB)) <_ ((N` A) x. (N` B)))
80	24, 79	pm2.61ine 2089	1 |- (abs` (APB)) <_ ((N` A) x. (N` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919  *ccj 7999  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  -vcnsb 9540  normcnm 9541  .icip 9688  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  sii 9855  bcsiHIL 10680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain