MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sii Structured version   Unicode version

Theorem sii 24407
Description: Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also theorems bcseqi 24675, bcsiALT 24734, bcsiHIL 24735, csbren 21031. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
sii.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
sii.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
sii.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
sii  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) )

Proof of Theorem sii
StepHypRef Expression
1 oveq1 6208 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A P B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P B ) )
21fveq2d 5804 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( abs `  ( A P B ) )  =  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B ) ) )
3 fveq2 5800 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( N `  A )  =  ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
43oveq1d 6216 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) )  =  ( ( N `
 if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) )  x.  ( N `  B
) ) )
52, 4breq12d 4414 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( abs `  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) )  <->  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P B ) )  <_  (
( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  B ) ) ) )
6 oveq2 6209 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
76fveq2d 5804 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B ) )  =  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) ) )
8 fveq2 5800 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( N `  B )  =  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
98oveq2d 6217 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  B ) )  =  ( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
107, 9breq12d 4414 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B ) )  <_ 
( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  B ) )  <->  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )  <_  ( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) )
11 sii.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
12 sii.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
13 sii.7 . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
14 sii.9 . . 3  |-  U  e.  CPreHil
OLD
15 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
1611, 15, 14elimph 24373 . . 3  |-  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
1711, 15, 14elimph 24373 . . 3  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
1811, 12, 13, 14, 16, 17siii 24406 . 2  |-  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )  <_  ( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
195, 10, 18dedth2h 3951 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3900   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    x. cmul 9399    <_ cle 9531   abscabs 12842   BaseSetcba 24117   0veccn0v 24119   normCVcnmcv 24121   .iOLDcdip 24248   CPreHil OLDccphlo 24365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-t1 19051  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-vc 24077  df-nv 24123  df-va 24126  df-ba 24127  df-sm 24128  df-0v 24129  df-vs 24130  df-nmcv 24131  df-ims 24132  df-dip 24249  df-ph 24366
This theorem is referenced by:  ipblnfi  24409  htthlem  24472
  Copyright terms: Public domain W3C validator