Theorem signswrid 29440

Description: The zero-skipping operation propagages non-zeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	|- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
signsw.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }

Assertion

Ref	Expression
signswrid	|- ( X e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( X .+^ 0 ) = X )

Distinct variable group:   a, b, X

Allowed substitution hints:   .+^ ( a, b)   W( a, b)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9634	. . . 4 |- 0 e. _V
2	1	tpid2 4085	. . 3 |- 0 e. { -u 1 , 0 , 1 }
3		signsw.p	. . . 4 |- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
4	3	signspval 29434	. . 3 |- ( ( X e. { -u 1 , 0 , 1 } /\ 0 e. { -u 1 , 0 , 1 } ) -> ( X .+^ 0 ) = if ( 0 = 0 , X , 0 ) )
5	2, 4	mpan2 676	. 2 |- ( X e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( X .+^ 0 ) = if ( 0 = 0 , X , 0 ) )
6		eqid 2450	. . 3 |- 0 = 0
7		iftrue 3886	. . 3 |- ( 0 = 0 -> if ( 0 = 0 , X , 0 ) = X )
8	6, 7	mp1i 13	. 2 |- ( X e. { -u 1 , 0 , 1 } -> if ( 0 = 0 , X , 0 ) = X )
9	5, 8	eqtrd 2484	1 |- ( X e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( X .+^ 0 ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1443   e. wcel 1886   ifcif 3880   {cpr 3969   {ctp 3971   <.cop 3973   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290   0cc0 9536   1c1 9537   -ucneg 9858   ndxcnx 15111   Basecbs 15114   +g cplusg 15183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-mulcl 9598  ax-i2m1 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293

This theorem is referenced by:  signstfveq0  29459