Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswmnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem signswmnd 29439
 Description: is a monoid structure on which operation retains the right side, but skips zeroes. This will be used for skipping zeroes when counting sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p
signsw.w
Assertion
Ref Expression
signswmnd
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem signswmnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 signsw.p . . . . . 6
21signspval 29434 . . . . 5
3 ifcl 3922 . . . . 5
42, 3eqeltrd 2528 . . . 4
51signspval 29434 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5stoic3 1659 . . . . . . . . . . . 12
7 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . 12
86, 7sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . 11
98adantr 467 . . . . . . . . . 10
1023adant3 1027 . . . . . . . . . . 11
1110ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
12 iftrue 3886 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 468 . . . . . . . . . 10
149, 11, 133eqtrd 2488 . . . . . . . . 9
15 simp1 1007 . . . . . . . . . . . 12
161signspval 29434 . . . . . . . . . . . . . 14
17163adant1 1025 . . . . . . . . . . . . 13
18 simpl2 1011 . . . . . . . . . . . . . 14
19 simpl3 1012 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19ifclda 3912 . . . . . . . . . . . . 13
2117, 20eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12
221signspval 29434 . . . . . . . . . . . 12
2315, 21, 22syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
2423ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
25 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13
2617, 25sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . 12
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . 11
2928iftrued 3888 . . . . . . . . . 10
3024, 29eqtrd 2484 . . . . . . . . 9
3114, 30eqtr4d 2487 . . . . . . . 8
326ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
337ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10
3410ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11
35 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . 12
3635adantl 468 . . . . . . . . . . 11
3734, 36eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10
3832, 33, 373eqtrd 2488 . . . . . . . . 9
3923ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
40 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
4117ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
4225ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13
4443eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . 12
4540, 44mtbird 303 . . . . . . . . . . 11
4645iffalsed 3891 . . . . . . . . . 10
4739, 46, 433eqtrd 2488 . . . . . . . . 9
4838, 47eqtr4d 2487 . . . . . . . 8
4931, 48pm2.61dan 799 . . . . . . 7
50 iffalse 3889 . . . . . . . . 9
516, 50sylan9eq 2504 . . . . . . . 8
5223adantr 467 . . . . . . . . 9
53 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
54 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13
5517, 54sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . 12
5655eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . 11
5753, 56mtbird 303 . . . . . . . . . 10
5857iffalsed 3891 . . . . . . . . 9
5952, 58, 553eqtrd 2488 . . . . . . . 8
6051, 59eqtr4d 2487 . . . . . . 7
6149, 60pm2.61dan 799 . . . . . 6
62613expa 1207 . . . . 5
6362ralrimiva 2801 . . . 4
644, 63jca 535 . . 3
6564rgen2a 2814 . 2
66 c0ex 9634 . . . 4
6766tpid2 4085 . . 3
681signsw0glem 29435 . . 3
69 oveq1 6295 . . . . . . 7
7069eqeq1d 2452 . . . . . 6
71 oveq2 6296 . . . . . . 7
7271eqeq1d 2452 . . . . . 6
7370, 72anbi12d 716 . . . . 5
7473ralbidv 2826 . . . 4
7574rspcev 3149 . . 3
7667, 68, 75mp2an 677 . 2
77 signsw.w . . . 4
781, 77signswbase 29436 . . 3
791, 77signswplusg 29437 . . 3
8078, 79ismnd 16532 . 2
8165, 76, 80mpbir2an 930 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  cif 3880  cpr 3969  ctp 3971  cop 3973  cfv 5581  (class class class)co 6288   cmpt2 6290  cc0 9536  c1 9537  cneg 9858  cnx 15111  cbs 15114   cplusg 15183  cmnd 16528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530 This theorem is referenced by:  signstcl  29447  signstf  29448  signstf0  29450  signstfvn  29451
 Copyright terms: Public domain W3C validator