Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvf1 Structured version   Unicode version

Theorem signsvf1 27121
Description: In a single-letter word, which represents a constant polynomial, there is no change of sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signsvf1  |-  ( K  e.  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  0 )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, K    f, W, i, n    f, j    T, f    j, K
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( i,
j, n, a, b)    K( a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signsvf1
StepHypRef Expression
1 s1cl 12406 . . 3  |-  ( K  e.  RR  ->  <" K ">  e. Word  RR )
2 signsv.p . . . 4  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
3 signsv.w . . . 4  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
4 signsv.t . . . 4  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
5 signsv.v . . . 4  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
62, 3, 4, 5signsvvfval 27118 . . 3  |-  ( <" K ">  e. Word  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
71, 6syl 16 . 2  |-  ( K  e.  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
8 s1len 12409 . . . . . 6  |-  ( # `  <" K "> )  =  1
98oveq2i 6206 . . . . 5  |-  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
)  =  ( 1..^ 1 )
10 fzo0 11685 . . . . 5  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
119, 10eqtri 2481 . . . 4  |-  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
)  =  (/)
1211sumeq1i 13288 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> ) ) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  ( ( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )  =  sum_ j  e.  (/)  if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )
13 sum0 13311 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )  =  0
1412, 13eqtri 2481 . 2  |-  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> ) ) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  ( ( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )  =  0
157, 14syl6eq 2509 1  |-  ( K  e.  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   (/)c0 3740   ifcif 3894   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    - cmin 9701   -ucneg 9702   ...cfz 11549  ..^cfzo 11660   #chash 12215  Word cword 12334   <"cs1 12337  sgncsgn 12688   sum_csu 13276   ndxcnx 14284   Basecbs 14287   +g cplusg 14352    gsumg cgsu 14493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-word 12342  df-s1 12345  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator