Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvf1 Structured version   Unicode version

Theorem signsvf1 29057
Description: In a single-letter word, which represents a constant polynomial, there is no change of sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signsvf1  |-  ( K  e.  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  0 )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, K    f, W, i, n    f, j    T, f    j, K
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( i,
j, n, a, b)    K( a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signsvf1
StepHypRef Expression
1 s1cl 12670 . . 3  |-  ( K  e.  RR  ->  <" K ">  e. Word  RR )
2 signsv.p . . . 4  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
3 signsv.w . . . 4  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
4 signsv.t . . . 4  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
5 signsv.v . . . 4  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
62, 3, 4, 5signsvvfval 29054 . . 3  |-  ( <" K ">  e. Word  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
71, 6syl 17 . 2  |-  ( K  e.  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
8 s1len 12673 . . . . . 6  |-  ( # `  <" K "> )  =  1
98oveq2i 6291 . . . . 5  |-  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
)  =  ( 1..^ 1 )
10 fzo0 11883 . . . . 5  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
119, 10eqtri 2433 . . . 4  |-  ( 1..^ ( # `  <" K "> )
)  =  (/)
1211sumeq1i 13671 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> ) ) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  ( ( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )  =  sum_ j  e.  (/)  if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )
13 sum0 13694 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  (
( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )  =  0
1412, 13eqtri 2433 . 2  |-  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  <" K "> ) ) if ( ( ( T `  <" K "> ) `  j )  =/=  ( ( T `  <" K "> ) `  ( j  -  1 ) ) ,  1 ,  0 )  =  0
157, 14syl6eq 2461 1  |-  ( K  e.  RR  ->  ( V `  <" K "> )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   (/)c0 3740   ifcif 3887   {cpr 3976   {ctp 3978   <.cop 3980    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    - cmin 9843   -ucneg 9844   ...cfz 11728  ..^cfzo 11856   #chash 12454  Word cword 12585   <"cs1 12588  sgncsgn 13070   sum_csu 13659   ndxcnx 14840   Basecbs 14843   +g cplusg 14911    gsumg cgsu 15057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-word 12593  df-s1 12596  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator