Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvn Structured version   Unicode version

Theorem signstfvn 28723
 Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p
signsv.w
signsv.t Word ..^ g sgn
signsv.v Word ..^
Assertion
Ref Expression
signstfvn Word ++ sgn
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,,)   (,,)   (,,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem signstfvn
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5
2 signsv.w . . . . 5
31, 2signswbase 28708 . . . 4
41, 2signswmnd 28711 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4 Word
6 eldifi 3622 . . . . . . . . 9 Word Word
7 lencl 12569 . . . . . . . . 9 Word
86, 7syl 16 . . . . . . . 8 Word
9 eldifsn 4157 . . . . . . . . 9 Word Word
10 hasheq0 12436 . . . . . . . . . . 11 Word
1110necon3bid 2715 . . . . . . . . . 10 Word
1211biimpar 485 . . . . . . . . 9 Word
139, 12sylbi 195 . . . . . . . 8 Word
14 elnnne0 10830 . . . . . . . 8
158, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . 7 Word
1615adantr 465 . . . . . 6 Word
17 nnm1nn0 10858 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5 Word
19 nn0uz 11140 . . . . 5
2018, 19syl6eleq 2555 . . . 4 Word
21 s1cl 12623 . . . . . . . . . 10 Word
22 ccatcl 12602 . . . . . . . . . 10 Word Word ++ Word
236, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . 9 Word ++ Word
2423adantr 465 . . . . . . . 8 Word ++ Word
25 wrdf 12558 . . . . . . . 8 ++ Word ++ ..^ ++
2624, 25syl 16 . . . . . . 7 Word ++ ..^ ++
278adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 Word
2827nn0zd 10988 . . . . . . . . . . 11 Word
29 fzoval 11827 . . . . . . . . . . 11 ..^
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10 Word ..^
31 fzossfz 11844 . . . . . . . . . 10 ..^
3230, 31syl6eqssr 3550 . . . . . . . . 9 Word
33 ccatlen 12603 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ++
346, 21, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12 Word ++
35 s1len 12626 . . . . . . . . . . . . 13
3635oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12
3734, 36syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11 Word ++
3837oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10 Word ..^ ++ ..^
3928peano2zd 10993 . . . . . . . . . . 11 Word
40 fzoval 11827 . . . . . . . . . . 11 ..^
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10 Word ..^
4227nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . 12 Word
43 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12 Word
4442, 43pncand 9951 . . . . . . . . . . 11 Word
4544oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10 Word
4638, 41, 453eqtrd 2502 . . . . . . . . 9 Word ..^ ++
4732, 46sseqtr4d 3536 . . . . . . . 8 Word ..^ ++
4847sselda 3499 . . . . . . 7 Word ..^ ++
4926, 48ffvelrnd 6033 . . . . . 6 Word ++
5049rexrd 9660 . . . . 5 Word ++
51 sgncl 28674 . . . . 5 ++ sgn ++
5250, 51syl 16 . . . 4 Word sgn ++
531, 2signswplusg 28709 . . . 4
54 simpr 461 . . . . . 6 Word
5554rexrd 9660 . . . . 5 Word
56 sgncl 28674 . . . . 5 sgn
5755, 56syl 16 . . . 4 Word sgn
58 simpr 461 . . . . . . . 8 Word
5942, 43npcand 9954 . . . . . . . . 9 Word
6059adantr 465 . . . . . . . 8 Word
6158, 60eqtrd 2498 . . . . . . 7 Word
6261fveq2d 5876 . . . . . 6 Word ++ ++
636adantr 465 . . . . . . . . 9 Word Word
6454, 21syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word
65 c0ex 9607 . . . . . . . . . . . . 13
6665snid 4060 . . . . . . . . . . . 12
67 fzo01 11900 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6866, 67eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . 11 ..^
6935oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
7068, 69eleqtrri 2544 . . . . . . . . . 10 ..^
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 Word ..^
72 ccatval3 12606 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ ++
7363, 64, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . 8 Word ++
7442addid2d 9798 . . . . . . . . 9 Word
7574fveq2d 5876 . . . . . . . 8 Word ++ ++
76 s1fv 12628 . . . . . . . . 9
7754, 76syl 16 . . . . . . . 8 Word
7873, 75, 773eqtr3d 2506 . . . . . . 7 Word ++
7978adantr 465 . . . . . 6 Word ++
8062, 79eqtrd 2498 . . . . 5 Word ++
8180fveq2d 5876 . . . 4 Word sgn ++ sgn
823, 5, 20, 52, 53, 57, 81gsumnunsn 28690 . . 3 Word g sgn ++ g sgn ++ sgn
8359oveq2d 6312 . . . . 5 Word
8483mpteq1d 4538 . . . 4 Word sgn ++ sgn ++
8584oveq2d 6312 . . 3 Word g sgn ++ g sgn ++
8663adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word
8764adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word
8830eleq2d 2527 . . . . . . . . 9 Word ..^
8988biimpar 485 . . . . . . . 8 Word ..^
90 ccatval1 12604 . . . . . . . 8 Word Word ..^ ++
9186, 87, 89, 90syl3anc 1228 . . . . . . 7 Word ++
9291fveq2d 5876 . . . . . 6 Word sgn ++ sgn
9392mpteq2dva 4543 . . . . 5 Word sgn ++ sgn
9493oveq2d 6312 . . . 4 Word g sgn ++ g sgn
9594oveq1d 6311 . . 3 Word g sgn ++ sgn g sgn sgn
9682, 85, 953eqtr3d 2506 . 2 Word g sgn ++ g sgn sgn
97 eqidd 2458 . . . . . 6 Word
9897olcd 393 . . . . 5 Word ..^
9927, 19syl6eleq 2555 . . . . . 6 Word
100 fzosplitsni 11923 . . . . . 6 ..^ ..^
10199, 100syl 16 . . . . 5 Word ..^ ..^
10298, 101mpbird 232 . . . 4 Word ..^
103102, 38eleqtrrd 2548 . . 3 Word ..^ ++
104 signsv.t . . . 4 Word ..^ g sgn
105 signsv.v . . . 4 Word ..^
1061, 2, 104, 105signstfval 28718 . . 3 ++ Word ..^ ++ ++ g sgn ++
10723, 103, 106syl2anc 661 . 2 Word ++ g sgn ++
108 fzo0end 11907 . . . . . 6 ..^
10915, 108syl 16 . . . . 5 Word ..^
1101, 2, 104, 105signstfval 28718 . . . . 5 Word ..^ g sgn
1116, 109, 110syl2anc 661 . . . 4 Word g sgn
112111adantr 465 . . 3 Word g sgn
113112oveq1d 6311 . 2 Word sgn g sgn sgn
11496, 107, 1133eqtr4d 2508 1 Word ++ sgn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652   cdif 3468  c0 3793  cif 3944  csn 4032  cpr 4034  ctp 4036  cop 4038   cmpt 4515  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512  cxr 9644   cmin 9824  cneg 9825  cn 10556  cn0 10816  cz 10885  cuz 11106  cfz 11697  ..^cfzo 11821  chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540  cs1 12541  sgncsgn 12931  csu 13520  cnx 14641  cbs 14644   cplusg 14712   g cgsu 14858  cmnd 16046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-sgn 12932  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048 This theorem is referenced by:  signsvtn0  28724  signstfvneq0  28726  signstfveq0  28731  signsvfn  28736
 Copyright terms: Public domain W3C validator