Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Unicode version

Theorem signstf 28355
Description: The zero skipping sign word is a word (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signstf  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, F    f, W, i, n
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( f,
i, j, n, a, b)    F( j, a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
2 signsv.w . . . 4  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
3 signsv.t . . . 4  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
4 signsv.v . . . 4  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
51, 2, 3, 4signstfv 28352 . . 3  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  =  ( n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) ) )
6 neg1rr 10652 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
7 0re 9608 . . . . 5  |-  0  e.  RR
8 1re 9607 . . . . 5  |-  1  e.  RR
9 tpssi 4199 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { -u 1 ,  0 ,  1 } 
C_  RR )
106, 7, 8, 9mp3an 1324 . . . 4  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  C_  RR
111, 2signswbase 28343 . . . . 5  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  =  (
Base `  W )
121, 2signswmnd 28346 . . . . . 6  |-  W  e. 
Mnd
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  W  e.  Mnd )
14 fzo0ssnn0 11876 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  NN0
15 nn0uz 11128 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1614, 15sseqtri 3541 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
1817sselda 3509 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
19 wrdf 12533 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. Word  RR  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR )
21 fzssfzo 28322 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( 0 ... n )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( 0 ... n
)  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2322sselda 3509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2420, 23ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
2524rexrd 9655 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
26 sgncl 28309 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  RR*  ->  (sgn `  ( F `  i ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  (sgn `  ( F `  i )
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2811, 13, 18, 27gsumncl 28324 . . . 4  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2910, 28sseldi 3507 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  RR )
305, 29fmpt3d 27327 . 2  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
31 iswrdi 12532 . 2  |-  ( ( T `  F ) : ( 0..^ (
# `  F )
) --> RR  ->  ( T `  F )  e. Word  RR )
3230, 31syl 16 1  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481   ifcif 3945   {cpr 4035   {ctp 4037   <.cop 4039    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   RR*cxr 9639    - cmin 9817   -ucneg 9818   NN0cn0 10807   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12514  sgncsgn 12898   sum_csu 13487   ndxcnx 14503   Basecbs 14506   +g cplusg 14571    gsumg cgsu 14712   Mndcmnd 15792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-word 12522  df-sgn 12899  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794
This theorem is referenced by:  signstres  28364  signsvtp  28372  signsvtn  28373
  Copyright terms: Public domain W3C validator