Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Unicode version

Theorem signstf 26967
Description: The zero skipping sign word is a word (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signstf  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, F    f, W, i, n
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( f,
i, j, n, a, b)    F( j, a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10426 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
2 0re 9386 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3 1re 9385 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
4 tpssi 4039 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { -u 1 ,  0 ,  1 } 
C_  RR )
51, 2, 3, 4mp3an 1314 . . . . 5  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  C_  RR
6 signsv.p . . . . . . 7  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
7 signsv.w . . . . . . 7  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
86, 7signswbase 26955 . . . . . 6  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  =  (
Base `  W )
96, 7signswmnd 26958 . . . . . . 7  |-  W  e. 
Mnd
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  W  e.  Mnd )
11 fzo0ssnn0 11611 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  NN0
12 nn0uz 10895 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1311, 12sseqtri 3388 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
1514sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
16 wrdf 12240 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. Word  RR  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR )
18 fzssfzo 26934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( 0 ... n )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( 0 ... n
)  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2019sselda 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2117, 20ffvelrnd 5844 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
2221rexrd 9433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
23 sgncl 26921 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  i )  e.  RR*  ->  (sgn `  ( F `  i ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  (sgn `  ( F `  i )
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
258, 10, 15, 24gsumncl 26936 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
265, 25sseldi 3354 . . . 4  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  RR )
27 eqid 2443 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  |->  ( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n )  |->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) )  =  ( n  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  |->  ( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) )
2826, 27fmptd 5867 . . 3  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( n  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  |->  ( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n )  |->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) ) : ( 0..^ (
# `  F )
) --> RR )
29 signsv.t . . . . 5  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
30 signsv.v . . . . 5  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
316, 7, 29, 30signstfv 26964 . . . 4  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  =  ( n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) ) )
3231feq1d 5546 . . 3  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( ( T `  F ) : ( 0..^ (
# `  F )
) --> RR  <->  ( n  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  |->  ( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR ) )
3328, 32mpbird 232 . 2  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
34 iswrdi 12239 . 2  |-  ( ( T `  F ) : ( 0..^ (
# `  F )
) --> RR  ->  ( T `  F )  e. Word  RR )
3533, 34syl 16 1  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    C_ wss 3328   ifcif 3791   {cpr 3879   {ctp 3881   <.cop 3883    e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   RR*cxr 9417    - cmin 9595   -ucneg 9596   NN0cn0 10579   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221  sgncsgn 12575   sum_csu 13163   ndxcnx 14171   Basecbs 14174   +g cplusg 14238    gsumg cgsu 14379   Mndcmnd 15409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-word 12229  df-sgn 12576  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415
This theorem is referenced by:  signstres  26976  signsvtp  26984  signsvtn  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator