Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem signstf 29504
Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signstf  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, F    f, W, i, n
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( f,
i, j, n, a, b)    F( j, a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
2 signsv.w . . . 4  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
3 signsv.t . . . 4  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
4 signsv.v . . . 4  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
51, 2, 3, 4signstfv 29501 . . 3  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  =  ( n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) ) )
6 neg1rr 10742 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
7 0re 9669 . . . . 5  |-  0  e.  RR
8 1re 9668 . . . . 5  |-  1  e.  RR
9 tpssi 4151 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { -u 1 ,  0 ,  1 } 
C_  RR )
106, 7, 8, 9mp3an 1373 . . . 4  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  C_  RR
111, 2signswbase 29492 . . . . 5  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  =  (
Base `  W )
121, 2signswmnd 29495 . . . . . 6  |-  W  e. 
Mnd
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  W  e.  Mnd )
14 fzo0ssnn0 12025 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  NN0
15 nn0uz 11222 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1614, 15sseqtri 3476 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
1817sselda 3444 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
19 wrdf 12709 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. Word  RR  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
2019ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR )
21 fzssfzo 29471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( 0 ... n )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2221adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( 0 ... n
)  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2322sselda 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2420, 23ffvelrnd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
2524rexrd 9716 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
26 sgncl 29458 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  RR*  ->  (sgn `  ( F `  i ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2725, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  (sgn `  ( F `  i )
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2811, 13, 18, 27gsumncl 29473 . . . 4  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2910, 28sseldi 3442 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  RR )
305, 29fmpt3d 6070 . 2  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
31 iswrdi 12708 . 2  |-  ( ( T `  F ) : ( 0..^ (
# `  F )
) --> RR  ->  ( T `  F )  e. Word  RR )
3230, 31syl 17 1  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633    C_ wss 3416   ifcif 3893   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986    |-> cmpt 4475   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    |-> cmpt2 6317   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   RR*cxr 9700    - cmin 9886   -ucneg 9887   NN0cn0 10898   ZZ>=cuz 11188   ...cfz 11813  ..^cfzo 11946   #chash 12547  Word cword 12689  sgncsgn 13198   sum_csu 13801   ndxcnx 15167   Basecbs 15170   +g cplusg 15239    gsumg cgsu 15388   Mndcmnd 16584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-word 12697  df-sgn 13199  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-plusg 15252  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586
This theorem is referenced by:  signstres  29513  signsvtp  29521  signsvtn  29522
  Copyright terms: Public domain W3C validator