Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Unicode version

Theorem signstf 28706
Description: The zero skipping sign word is a word (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signstf  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, F    f, W, i, n
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( f,
i, j, n, a, b)    F( j, a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
2 signsv.w . . . 4  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
3 signsv.t . . . 4  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
4 signsv.v . . . 4  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
51, 2, 3, 4signstfv 28703 . . 3  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  =  ( n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) ) )
6 neg1rr 10557 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
7 0re 9507 . . . . 5  |-  0  e.  RR
8 1re 9506 . . . . 5  |-  1  e.  RR
9 tpssi 4110 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { -u 1 ,  0 ,  1 } 
C_  RR )
106, 7, 8, 9mp3an 1322 . . . 4  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  C_  RR
111, 2signswbase 28694 . . . . 5  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  =  (
Base `  W )
121, 2signswmnd 28697 . . . . . 6  |-  W  e. 
Mnd
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  W  e.  Mnd )
14 fzo0ssnn0 11795 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  NN0
15 nn0uz 11035 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1614, 15sseqtri 3449 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
1817sselda 3417 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
19 wrdf 12458 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. Word  RR  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR )
21 fzssfzo 28673 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( 0 ... n )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2221adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( 0 ... n
)  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2322sselda 3417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
2420, 23ffvelrnd 5934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
2524rexrd 9554 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
26 sgncl 28660 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  RR*  ->  (sgn `  ( F `  i ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... n ) )  ->  (sgn `  ( F `  i )
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2811, 13, 18, 27gsumncl 28675 . . . 4  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2910, 28sseldi 3415 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  n  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  RR )
305, 29fmpt3d 27636 . 2  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
31 iswrdi 12457 . 2  |-  ( ( T `  F ) : ( 0..^ (
# `  F )
) --> RR  ->  ( T `  F )  e. Word  RR )
3230, 31syl 16 1  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( T `
 F )  e. Word  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    C_ wss 3389   ifcif 3857   {cpr 3946   {ctp 3948   <.cop 3950    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   RR*cxr 9538    - cmin 9718   -ucneg 9719   NN0cn0 10712   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717   #chash 12307  Word cword 12438  sgncsgn 12921   sum_csu 13510   ndxcnx 14631   Basecbs 14634   +g cplusg 14702    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-word 12446  df-sgn 12922  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038
This theorem is referenced by:  signstres  28715  signsvtp  28723  signsvtn  28724
  Copyright terms: Public domain W3C validator