Theorem signstcl 28719

Description: Closure of the zero skipping sign word (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	|- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
signsv.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }
signsv.t	|- T = ( f e. Word RR |-> ( n e. ( 0..^ ( # ` f ) ) |-> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... n ) |-> (sgn ` ( f ` i ) ) ) ) ) )
signsv.v	|- V = ( f e. Word RR |-> sum_ j e. ( 1..^ ( # ` f ) ) if ( ( ( T ` f ) ` j ) =/= ( ( T ` f ) ` ( j - 1 ) ) , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
signstcl	|- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Distinct variable groups:   a, b, .+^   f, i, n, F   i, N, n   f, W, i, n

Allowed substitution hints:   .+^ ( f, i, j, n)   T( f, i, j, n, a, b)   F( j, a, b)   N( f, j, a, b)   V( f, i, j, n, a, b)   W( j, a, b)

Proof of Theorem signstcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . 3 |- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
2		signsv.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }
3		signsv.t	. . 3 |- T = ( f e. Word RR |-> ( n e. ( 0..^ ( # ` f ) ) |-> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... n ) |-> (sgn ` ( f ` i ) ) ) ) ) )
4		signsv.v	. . 3 |- V = ( f e. Word RR |-> sum_ j e. ( 1..^ ( # ` f ) ) if ( ( ( T ` f ) ` j ) =/= ( ( T ` f ) ` ( j - 1 ) ) , 1 , 0 ) )
5	1, 2, 3, 4	signstfval 28718	. 2 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) = ( W gsumg ( i e. ( 0 ... N ) |-> (sgn ` ( F ` i ) ) ) ) )
6	1, 2	signswbase 28708	. . 3 |- { -u 1 , 0 , 1 } = ( Base ` W )
7	1, 2	signswmnd 28711	. . . 4 |- W e. Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> W e. Mnd )
9		fzo0ssnn0 11899	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ NN0
10		nn0uz 11140	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11	9, 10	sseqtri 3531	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( F e. Word RR -> ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
13	12	sselda 3499	. . 3 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
14		wrdf 12558	. . . . . . 7 |- ( F e. Word RR -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> RR )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> RR )
16		fzssfzo 28687	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
17	16	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
18	17	sselda 3499	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
19	15, 18	ffvelrnd 6033	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
20	19	rexrd 9660	. . . 4 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR* )
21		sgncl 28674	. . . 4 |- ( ( F ` i ) e. RR* -> (sgn ` ( F ` i ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
22	20, 21	syl 16	. . 3 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> (sgn ` ( F ` i ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
23	6, 8, 13, 22	gsumncl 28689	. 2 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... N ) |-> (sgn ` ( F ` i ) ) ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
24	5, 23	eqeltrd 2545	1 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   C_ wss 3471   ifcif 3944   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038   |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   RR*cxr 9644   - cmin 9824   -ucneg 9825   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538  sgncsgn 12931   sum_csu 13520   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   gsum_g cgsu 14858   Mndcmnd 16046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-sgn 12932  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048

This theorem is referenced by:  signsvtn0  28724  signstfvneq0  28726  signstfvcl  28727  signstfveq0  28731