Theorem signstcl 29466

Description: Closure of the zero skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	|- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
signsv.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }
signsv.t	|- T = ( f e. Word RR |-> ( n e. ( 0..^ ( # ` f ) ) |-> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... n ) |-> (sgn ` ( f ` i ) ) ) ) ) )
signsv.v	|- V = ( f e. Word RR |-> sum_ j e. ( 1..^ ( # ` f ) ) if ( ( ( T ` f ) ` j ) =/= ( ( T ` f ) ` ( j - 1 ) ) , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
signstcl	|- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Distinct variable groups:   a, b, .+^   f, i, n, F   i, N, n   f, W, i, n

Allowed substitution hints:   .+^ ( f, i, j, n)   T( f, i, j, n, a, b)   F( j, a, b)   N( f, j, a, b)   V( f, i, j, n, a, b)   W( j, a, b)

Proof of Theorem signstcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . 3 |- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
2		signsv.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }
3		signsv.t	. . 3 |- T = ( f e. Word RR |-> ( n e. ( 0..^ ( # ` f ) ) |-> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... n ) |-> (sgn ` ( f ` i ) ) ) ) ) )
4		signsv.v	. . 3 |- V = ( f e. Word RR |-> sum_ j e. ( 1..^ ( # ` f ) ) if ( ( ( T ` f ) ` j ) =/= ( ( T ` f ) ` ( j - 1 ) ) , 1 , 0 ) )
5	1, 2, 3, 4	signstfval 29465	. 2 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) = ( W gsumg ( i e. ( 0 ... N ) |-> (sgn ` ( F ` i ) ) ) ) )
6	1, 2	signswbase 29455	. . 3 |- { -u 1 , 0 , 1 } = ( Base ` W )
7	1, 2	signswmnd 29458	. . . 4 |- W e. Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> W e. Mnd )
9		fzo0ssnn0 12001	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ NN0
10		nn0uz 11200	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11	9, 10	sseqtri 3466	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( F e. Word RR -> ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
13	12	sselda 3434	. . 3 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
14		wrdf 12683	. . . . . . 7 |- ( F e. Word RR -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> RR )
15	14	ad2antrr 733	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> RR )
16		fzssfzo 29434	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
17	16	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
18	17	sselda 3434	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
19	15, 18	ffvelrnd 6028	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
20	19	rexrd 9695	. . . 4 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR* )
21		sgncl 29421	. . . 4 |- ( ( F ` i ) e. RR* -> (sgn ` ( F ` i ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> (sgn ` ( F ` i ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
23	6, 8, 13, 22	gsumncl 29436	. 2 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... N ) |-> (sgn ` ( F ` i ) ) ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
24	5, 23	eqeltrd 2531	1 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   C_ wss 3406   ifcif 3883   {cpr 3972   {ctp 3974   <.cop 3976   |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   RR*cxr 9679   - cmin 9865   -ucneg 9866   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   #chash 12522  Word cword 12663  sgncsgn 13161   sum_csu 13764   ndxcnx 15130   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   gsum_g cgsu 15351   Mndcmnd 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-word 12671  df-sgn 13162  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549

This theorem is referenced by:  signsvtn0  29471  signstfvneq0  29473  signstfvcl  29474  signstfveq0  29478