Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstcl Structured version   Unicode version

Theorem signstcl 26978
Description: Closure of the zero skipping sign word (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signstcl  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( T `  F ) `  N
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, F    i, N, n    f, W, i, n
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( f,
i, j, n, a, b)    F( j, a, b)    N( f, j, a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signstcl
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . 3  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
2 signsv.w . . 3  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
3 signsv.t . . 3  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
4 signsv.v . . 3  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
51, 2, 3, 4signstfval 26977 . 2  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( T `  F ) `  N
)  =  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) )
61, 2signswbase 26967 . . 3  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  =  (
Base `  W )
71, 2signswmnd 26970 . . . 4  |-  W  e. 
Mnd
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  W  e.  Mnd )
9 fzo0ssnn0 11623 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  NN0
10 nn0uz 10907 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10sseqtri 3400 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
1312sselda 3368 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
14 wrdf 12252 . . . . . . 7  |-  ( F  e. Word  RR  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
1514ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR )
16 fzssfzo 26946 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( 0 ... N
)  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1817sselda 3368 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1915, 18ffvelrnd 5856 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
2019rexrd 9445 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
21 sgncl 26933 . . . 4  |-  ( ( F `  i )  e.  RR*  ->  (sgn `  ( F `  i ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (sgn `  ( F `  i )
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
236, 8, 13, 22gsumncl 26948 . 2  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
245, 23eqeltrd 2517 1  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( T `  F ) `  N
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    C_ wss 3340   ifcif 3803   {cpr 3891   {ctp 3893   <.cop 3895    e. cmpt 4362   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   RR*cxr 9429    - cmin 9607   -ucneg 9608   NN0cn0 10591   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449  ..^cfzo 11560   #chash 12115  Word cword 12233  sgncsgn 12587   sum_csu 13175   ndxcnx 14183   Basecbs 14186   +g cplusg 14250    gsumg cgsu 14391   Mndcmnd 15421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-word 12241  df-sgn 12588  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mnd 15427
This theorem is referenced by:  signsvtn0  26983  signstfvneq0  26985  signstfvcl  26986  signstfveq0  26990
  Copyright terms: Public domain W3C validator