Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem signstcl 29466
Description: Closure of the zero skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
signsv.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
signsv.t  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
signsv.v  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
signstcl  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( T `  F ) `  N
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
Distinct variable groups:    a, b,  .+^    f, i, n, F    i, N, n    f, W, i, n
Allowed substitution hints:    .+^ ( f, i,
j, n)    T( f,
i, j, n, a, b)    F( j, a, b)    N( f, j, a, b)    V( f, i, j, n, a, b)    W( j, a, b)

Proof of Theorem signstcl
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . 3  |-  .+^  =  ( a  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } ,  b  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }  |->  if ( b  =  0 ,  a ,  b ) )
2 signsv.w . . 3  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { -u 1 ,  0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+^  >. }
3 signsv.t . . 3  |-  T  =  ( f  e. Word  RR  |->  ( n  e.  (
0..^ ( # `  f
) )  |->  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... n ) 
|->  (sgn `  ( f `  i ) ) ) ) ) )
4 signsv.v . . 3  |-  V  =  ( f  e. Word  RR  |->  sum_ j  e.  ( 1..^ ( # `  f
) ) if ( ( ( T `  f ) `  j
)  =/=  ( ( T `  f ) `
 ( j  - 
1 ) ) ,  1 ,  0 ) )
51, 2, 3, 4signstfval 29465 . 2  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( T `  F ) `  N
)  =  ( W 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) ) )
61, 2signswbase 29455 . . 3  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  =  (
Base `  W )
71, 2signswmnd 29458 . . . 4  |-  W  e. 
Mnd
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  W  e.  Mnd )
9 fzo0ssnn0 12001 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  NN0
10 nn0uz 11200 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10sseqtri 3466 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e. Word  RR  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
1312sselda 3434 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
14 wrdf 12683 . . . . . . 7  |-  ( F  e. Word  RR  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> RR )
1514ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> RR )
16 fzssfzo 29434 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1716adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( 0 ... N
)  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1817sselda 3434 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
1915, 18ffvelrnd 6028 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
2019rexrd 9695 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
21 sgncl 29421 . . . 4  |-  ( ( F `  i )  e.  RR*  ->  (sgn `  ( F `  i ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
2220, 21syl 17 . . 3  |-  ( ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (sgn `  ( F `  i )
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
236, 8, 13, 22gsumncl 29436 . 2  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( W  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  (sgn `  ( F `  i ) ) ) )  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
245, 23eqeltrd 2531 1  |-  ( ( F  e. Word  RR  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( T `  F ) `  N
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    C_ wss 3406   ifcif 3883   {cpr 3972   {ctp 3974   <.cop 3976    |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   RR*cxr 9679    - cmin 9865   -ucneg 9866   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   #chash 12522  Word cword 12663  sgncsgn 13161   sum_csu 13764   ndxcnx 15130   Basecbs 15133   +g cplusg 15202    gsumg cgsu 15351   Mndcmnd 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-word 12671  df-sgn 13162  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549
This theorem is referenced by:  signsvtn0  29471  signstfvneq0  29473  signstfvcl  29474  signstfveq0  29478
  Copyright terms: Public domain W3C validator