Theorem signstcl 26978

Description: Closure of the zero skipping sign word (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	|- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
signsv.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }
signsv.t	|- T = ( f e. Word RR |-> ( n e. ( 0..^ ( # ` f ) ) |-> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... n ) |-> (sgn ` ( f ` i ) ) ) ) ) )
signsv.v	|- V = ( f e. Word RR |-> sum_ j e. ( 1..^ ( # ` f ) ) if ( ( ( T ` f ) ` j ) =/= ( ( T ` f ) ` ( j - 1 ) ) , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
signstcl	|- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Distinct variable groups:   a, b, .+^   f, i, n, F   i, N, n   f, W, i, n

Allowed substitution hints:   .+^ ( f, i, j, n)   T( f, i, j, n, a, b)   F( j, a, b)   N( f, j, a, b)   V( f, i, j, n, a, b)   W( j, a, b)

Proof of Theorem signstcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . 3 |- .+^ = ( a e. { -u 1 , 0 , 1 } , b e. { -u 1 , 0 , 1 } |-> if ( b = 0 , a , b ) )
2		signsv.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , { -u 1 , 0 , 1 } >. , <. ( +g ` ndx ) , .+^ >. }
3		signsv.t	. . 3 |- T = ( f e. Word RR |-> ( n e. ( 0..^ ( # ` f ) ) |-> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... n ) |-> (sgn ` ( f ` i ) ) ) ) ) )
4		signsv.v	. . 3 |- V = ( f e. Word RR |-> sum_ j e. ( 1..^ ( # ` f ) ) if ( ( ( T ` f ) ` j ) =/= ( ( T ` f ) ` ( j - 1 ) ) , 1 , 0 ) )
5	1, 2, 3, 4	signstfval 26977	. 2 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) = ( W gsumg ( i e. ( 0 ... N ) |-> (sgn ` ( F ` i ) ) ) ) )
6	1, 2	signswbase 26967	. . 3 |- { -u 1 , 0 , 1 } = ( Base ` W )
7	1, 2	signswmnd 26970	. . . 4 |- W e. Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> W e. Mnd )
9		fzo0ssnn0 11623	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ NN0
10		nn0uz 10907	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11	9, 10	sseqtri 3400	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( F e. Word RR -> ( 0..^ ( # ` F ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
13	12	sselda 3368	. . 3 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
14		wrdf 12252	. . . . . . 7 |- ( F e. Word RR -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> RR )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> RR )
16		fzssfzo 26946	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
17	16	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
18	17	sselda 3368	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
19	15, 18	ffvelrnd 5856	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
20	19	rexrd 9445	. . . 4 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR* )
21		sgncl 26933	. . . 4 |- ( ( F ` i ) e. RR* -> (sgn ` ( F ` i ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
22	20, 21	syl 16	. . 3 |- ( ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> (sgn ` ( F ` i ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
23	6, 8, 13, 22	gsumncl 26948	. 2 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( W gsumg ( i e. ( 0 ... N ) |-> (sgn ` ( F ` i ) ) ) ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
24	5, 23	eqeltrd 2517	1 |- ( ( F e. Word RR /\ N e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( T ` F ) ` N ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   C_ wss 3340   ifcif 3803   {cpr 3891   {ctp 3893   <.cop 3895   e. cmpt 4362   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   e. cmpt2 6105   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   RR*cxr 9429   - cmin 9607   -ucneg 9608   NN0cn0 10591   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449  ..^cfzo 11560   #chash 12115  Word cword 12233  sgncsgn 12587   sum_csu 13175   ndxcnx 14183   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   gsum_g cgsu 14391   Mndcmnd 15421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-word 12241  df-sgn 12588  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mnd 15427

This theorem is referenced by:  signsvtn0  26983  signstfvneq0  26985  signstfvcl  26986  signstfveq0  26990