Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem signsplypnf 29511
 Description: The quotient of a polynomial by a monic monomial of same degree converges to the highest coefficient of . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d deg
signsply0.c coeff
signsply0.b
signsplypnf.g
Assertion
Ref Expression
signsplypnf Poly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 23231 . . . . 5 Poly
2 ffn 5739 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4 Poly
4 ovex 6336 . . . . . 6
54rgenw 2768 . . . . 5
6 signsplypnf.g . . . . . 6
76fnmpt 5714 . . . . 5
85, 7mp1i 13 . . . 4 Poly
9 cnex 9638 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4 Poly
11 reex 9648 . . . . . 6
12 rpssre 11335 . . . . . 6
1311, 12ssexi 4541 . . . . 5
1413a1i 11 . . . 4 Poly
15 ax-resscn 9614 . . . . . 6
1612, 15sstri 3427 . . . . 5
17 dfss1 3628 . . . . 5
1816, 17mpbi 213 . . . 4
19 signsply0.c . . . . 5 coeff
20 signsply0.d . . . . 5 deg
2119, 20coeid2 23272 . . . 4 Poly
226fvmpt2 5972 . . . . . 6
234, 22mpan2 685 . . . . 5
2423adantl 473 . . . 4 Poly
253, 8, 10, 14, 18, 21, 24offval 6557 . . 3 Poly
26 fzfid 12224 . . . . . 6 Poly
2716a1i 11 . . . . . . . 8 Poly
2827sselda 3418 . . . . . . 7 Poly
29 dgrcl 23266 . . . . . . . . 9 Poly deg
3020, 29syl5eqel 2553 . . . . . . . 8 Poly
3130adantr 472 . . . . . . 7 Poly
3228, 31expcld 12454 . . . . . 6 Poly
3319coef3 23265 . . . . . . . . 9 Poly
3433ad2antrr 740 . . . . . . . 8 Poly
35 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9
3635adantl 473 . . . . . . . 8 Poly
3734, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . 7 Poly
3828adantr 472 . . . . . . . 8 Poly
3938, 36expcld 12454 . . . . . . 7 Poly
4037, 39mulcld 9681 . . . . . 6 Poly
41 rpne0 11340 . . . . . . . 8
4241adantl 473 . . . . . . 7 Poly
4330nn0zd 11061 . . . . . . . 8 Poly
4443adantr 472 . . . . . . 7 Poly
4528, 42, 44expne0d 12460 . . . . . 6 Poly
4626, 32, 40, 45fsumdivc 13924 . . . . 5 Poly
47 fzodisj 11979 . . . . . . . 8 ..^ ..^
48 fzosn 12013 . . . . . . . . 9 ..^
4948ineq2d 3625 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^
5047, 49syl5reqr 2520 . . . . . . 7 ..^
5144, 50syl 17 . . . . . 6 Poly ..^
52 fzval3 12012 . . . . . . . . 9 ..^
5343, 52syl 17 . . . . . . . 8 Poly ..^
54 nn0uz 11217 . . . . . . . . . 10
5530, 54syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9 Poly
56 fzosplitsn 12048 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 Poly ..^ ..^
5853, 57eqtrd 2505 . . . . . . 7 Poly ..^
5958adantr 472 . . . . . 6 Poly ..^
6032adantr 472 . . . . . . 7 Poly
6142adantr 472 . . . . . . . 8 Poly
6244adantr 472 . . . . . . . 8 Poly
6338, 61, 62expne0d 12460 . . . . . . 7 Poly
6440, 60, 63divcld 10405 . . . . . 6 Poly
6551, 59, 26, 64fsumsplit 13883 . . . . 5 Poly ..^
6646, 65eqtrd 2505 . . . 4 Poly ..^
6766mpteq2dva 4482 . . 3 Poly ..^
6825, 67eqtrd 2505 . 2 Poly ..^
69 sumex 13831 . . . . 5 ..^
7069a1i 11 . . . 4 Poly ..^
71 sumex 13831 . . . . 5
7271a1i 11 . . . 4 Poly
7312a1i 11 . . . . . 6 Poly
74 fzofi 12225 . . . . . . 7 ..^
7574a1i 11 . . . . . 6 Poly ..^
76 ovex 6336 . . . . . . 7
7776a1i 11 . . . . . 6 Poly ..^
7833ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
79 elfzonn0 11988 . . . . . . . . . . 11 ..^
8079ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
8178, 80ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9 Poly ..^
8228adantlr 729 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
8382, 80expcld 12454 . . . . . . . . 9 Poly ..^
8432adantlr 729 . . . . . . . . 9 Poly ..^
8541adantl 473 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
8644adantlr 729 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
8782, 85, 86expne0d 12460 . . . . . . . . 9 Poly ..^
8881, 83, 84, 87divassd 10440 . . . . . . . 8 Poly ..^
8988mpteq2dva 4482 . . . . . . 7 Poly ..^
90 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 Poly ..^
92 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 Poly ..^
9433adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Poly ..^
9579adantl 473 . . . . . . . . . . 11 Poly ..^
9694, 95ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
97 rlimconst 13685 . . . . . . . . . 10
9812, 96, 97sylancr 676 . . . . . . . . 9 Poly ..^
9980nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly ..^
10086, 99zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly ..^
10182, 85, 100cxpexpzd 23735 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly ..^
102101oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13 Poly ..^
10382, 85, 100expnegd 12461 . . . . . . . . . . . . 13 Poly ..^
10486zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly ..^
10580nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly ..^
106104, 105negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly ..^
107106oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13 Poly ..^
108102, 103, 1073eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . . 12 Poly ..^
10982, 85, 86, 99expsubd 12465 . . . . . . . . . . . 12 Poly ..^
110108, 109eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11 Poly ..^
111110mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
11295nn0red 10950 . . . . . . . . . . . 12 Poly ..^
11330adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 Poly ..^
114113nn0red 10950 . . . . . . . . . . . 12 Poly ..^
115 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 Poly ..^
117 difrp 11360 . . . . . . . . . . . . 13
118117biimpa 492 . . . . . . . . . . . 12
119112, 114, 116, 118syl21anc 1291 . . . . . . . . . . 11 Poly ..^
120 cxplim 23976 . . . . . . . . . . 11
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 Poly ..^
122111, 121eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . 9 Poly ..^
12391, 93, 98, 122rlimmul 13785 . . . . . . . 8 Poly ..^
12496mul01d 9850 . . . . . . . 8 Poly ..^
125123, 124breqtrd 4420 . . . . . . 7 Poly ..^
12689, 125eqbrtrd 4416 . . . . . 6 Poly ..^
12773, 75, 77, 126fsumrlim 13948 . . . . 5 Poly ..^ ..^
12875olcd 400 . . . . . 6 Poly ..^ ..^
129 sumz 13865 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
130128, 129syl 17 . . . . 5 Poly ..^
131127, 130breqtrd 4420 . . . 4 Poly ..^
13233, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11 Poly
133132adantr 472 . . . . . . . . . 10 Poly
134133, 32mulcld 9681 . . . . . . . . 9 Poly
135134, 32, 45divcld 10405 . . . . . . . 8 Poly
136 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
137 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
138136, 137oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
139138oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
140139sumsn 13884 . . . . . . . 8
14131, 135, 140syl2anc 673 . . . . . . 7 Poly
142133, 32, 45divcan4d 10411 . . . . . . 7 Poly
143141, 142eqtrd 2505 . . . . . 6 Poly
144143mpteq2dva 4482 . . . . 5 Poly
145 rlimconst 13685 . . . . . 6
14612, 132, 145sylancr 676 . . . . 5 Poly
147144, 146eqbrtrd 4416 . . . 4 Poly
14870, 72, 131, 147rlimadd 13783 . . 3 Poly ..^
149132addid2d 9852 . . . 4 Poly
150 signsply0.b . . . 4
151149, 150syl6eqr 2523 . . 3 Poly
152148, 151breqtrd 4420 . 2 Poly ..^
15368, 152eqbrtrd 4416 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cexp 12310   crli 13626  csu 13829  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220   ccxp 23584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-log 23585  df-cxp 23586 This theorem is referenced by:  signsply0  29512
 Copyright terms: Public domain W3C validator