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Theorem sigaval 26489
Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaval  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Distinct variable group:    x, s, O

Proof of Theorem sigaval
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2722 . . . 4  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
2 selpw 3864 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
32anbi1i 690 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
43abbii 2553 . . . 4  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x
)  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
51, 4eqtri 2461 . . 3  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
6 pwexg 4473 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ~P O  e.  _V )
7 pwexg 4473 . . . 4  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  ~P ~P O  e.  _V )
8 rabexg 4439 . . . 4  |-  ( ~P ~P O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
96, 7, 83syl 20 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
105, 9syl5eqelr 2526 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )
11 pweq 3860 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1211sseq2d 3381 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
13 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
o  e.  s  <->  O  e.  s ) )
14 difeq1 3464 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1514eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  s ) )
1615ralbidv 2733 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ( A. x  e.  s 
( o  \  x
)  e.  s  <->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s ) )
1713, 163anbi12d 1285 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
1812, 17anbi12d 705 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  (
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
1918abbidv 2555 . . 3  |-  ( o  =  O  ->  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
20 df-siga 26487 . . 3  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2119, 20fvmptg 5769 . 2  |-  ( ( O  e.  _V  /\  { s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )  ->  (sigAlgebra `  O
)  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2210, 21mpdan 663 1  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   ` cfv 5415   omcom 6475    ~<_ cdom 7304  sigAlgebracsiga 26486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-siga 26487
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