Theorem sigaval 28812

Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaval	|- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Distinct variable group:   x, s, O

Proof of Theorem sigaval

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2782	. . . 4 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
2		selpw 3983	. . . . . 6 |- ( s e. ~P ~P O <-> s C_ ~P O )
3	2	anbi1i 699	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii 2554	. . . 4 |- { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1, 4	eqtri 2449	. . 3 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
6		pwexg 4600	. . . 4 |- ( O e. _V -> ~P O e. _V )
7		pwexg 4600	. . . 4 |- ( ~P O e. _V -> ~P ~P O e. _V )
8		rabexg 4566	. . . 4 |- ( ~P ~P O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . 3 |- ( O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
10	5, 9	syl5eqelr 2513	. 2 |- ( O e. _V -> { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V )
11		pweq 3979	. . . . . 6 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
12	11	sseq2d 3489	. . . . 5 |- ( o = O -> ( s C_ ~P o <-> s C_ ~P O ) )
13		eleq1 2492	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( o e. s <-> O e. s ) )
14		difeq1 3573	. . . . . . . 8 |- ( o = O -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
15	14	eleq1d 2489	. . . . . . 7 |- ( o = O -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. s ) )
16	15	ralbidv 2862	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. s ( O \ x ) e. s ) )
17	13, 16	3anbi12d 1336	. . . . 5 |- ( o = O -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 715	. . . 4 |- ( o = O -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) ) )
19	18	abbidv 2556	. . 3 |- ( o = O -> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
20		df-siga 28810	. . 3 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
21	19, 20	fvmptg 5953	. 2 |- ( ( O e. _V /\ { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V ) -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
22	10, 21	mpdan 672	1 |- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078   \ cdif 3430   C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   omcom 6697   ~<_ cdom 7566  sigAlgebracsiga 28809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-siga 28810

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