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Theorem sigaval 26575
Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaval  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Distinct variable group:    x, s, O

Proof of Theorem sigaval
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2745 . . . 4  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
2 selpw 3888 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
32anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
43abbii 2561 . . . 4  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x
)  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
51, 4eqtri 2463 . . 3  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
6 pwexg 4497 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ~P O  e.  _V )
7 pwexg 4497 . . . 4  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  ~P ~P O  e.  _V )
8 rabexg 4463 . . . 4  |-  ( ~P ~P O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
96, 7, 83syl 20 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
105, 9syl5eqelr 2528 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )
11 pweq 3884 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1211sseq2d 3405 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
13 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
o  e.  s  <->  O  e.  s ) )
14 difeq1 3488 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1514eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  s ) )
1615ralbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ( A. x  e.  s 
( o  \  x
)  e.  s  <->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s ) )
1713, 163anbi12d 1290 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
1812, 17anbi12d 710 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  (
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
1918abbidv 2563 . . 3  |-  ( o  =  O  ->  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
20 df-siga 26573 . . 3  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2119, 20fvmptg 5793 . 2  |-  ( ( O  e.  _V  /\  { s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )  ->  (sigAlgebra `  O
)  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2210, 21mpdan 668 1  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   omcom 6497    ~<_ cdom 7329  sigAlgebracsiga 26572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fv 5447  df-siga 26573
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