Theorem sigaval 29006

Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaval	|- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Distinct variable group:   x, s, O

Proof of Theorem sigaval

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2765	. . . 4 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
2		selpw 3949	. . . . . 6 |- ( s e. ~P ~P O <-> s C_ ~P O )
3	2	anbi1i 709	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii 2587	. . . 4 |- { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1, 4	eqtri 2493	. . 3 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
6		pwexg 4585	. . . 4 |- ( O e. _V -> ~P O e. _V )
7		pwexg 4585	. . . 4 |- ( ~P O e. _V -> ~P ~P O e. _V )
8		rabexg 4549	. . . 4 |- ( ~P ~P O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . 3 |- ( O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
10	5, 9	syl5eqelr 2554	. 2 |- ( O e. _V -> { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V )
11		pweq 3945	. . . . . 6 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
12	11	sseq2d 3446	. . . . 5 |- ( o = O -> ( s C_ ~P o <-> s C_ ~P O ) )
13		eleq1 2537	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( o e. s <-> O e. s ) )
14		difeq1 3533	. . . . . . . 8 |- ( o = O -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
15	14	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( o = O -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. s ) )
16	15	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. s ( O \ x ) e. s ) )
17	13, 16	3anbi12d 1366	. . . . 5 |- ( o = O -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 725	. . . 4 |- ( o = O -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) ) )
19	18	abbidv 2589	. . 3 |- ( o = O -> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
20		df-siga 29004	. . 3 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
21	19, 20	fvmptg 5961	. 2 |- ( ( O e. _V /\ { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V ) -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
22	10, 21	mpdan 681	1 |- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   omcom 6711   ~<_ cdom 7585  sigAlgebracsiga 29003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-siga 29004

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