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Theorem sigaval 28812
Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaval  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Distinct variable group:    x, s, O

Proof of Theorem sigaval
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2782 . . . 4  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
2 selpw 3983 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
32anbi1i 699 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
43abbii 2554 . . . 4  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x
)  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
51, 4eqtri 2449 . . 3  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
6 pwexg 4600 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ~P O  e.  _V )
7 pwexg 4600 . . . 4  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  ~P ~P O  e.  _V )
8 rabexg 4566 . . . 4  |-  ( ~P ~P O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
96, 7, 83syl 18 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
105, 9syl5eqelr 2513 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )
11 pweq 3979 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1211sseq2d 3489 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
13 eleq1 2492 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
o  e.  s  <->  O  e.  s ) )
14 difeq1 3573 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1514eleq1d 2489 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  s ) )
1615ralbidv 2862 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ( A. x  e.  s 
( o  \  x
)  e.  s  <->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s ) )
1713, 163anbi12d 1336 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
1812, 17anbi12d 715 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  (
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
1918abbidv 2556 . . 3  |-  ( o  =  O  ->  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
20 df-siga 28810 . . 3  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2119, 20fvmptg 5953 . 2  |-  ( ( O  e.  _V  /\  { s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )  ->  (sigAlgebra `  O
)  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2210, 21mpdan 672 1  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   omcom 6697    ~<_ cdom 7566  sigAlgebracsiga 28809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-siga 28810
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