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Theorem sigaval 27861
Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaval  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Distinct variable group:    x, s, O

Proof of Theorem sigaval
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2823 . . . 4  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
2 selpw 4017 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
32anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
43abbii 2601 . . . 4  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x
)  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
51, 4eqtri 2496 . . 3  |-  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
6 pwexg 4631 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ~P O  e.  _V )
7 pwexg 4631 . . . 4  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  ~P ~P O  e.  _V )
8 rabexg 4597 . . . 4  |-  ( ~P ~P O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
96, 7, 83syl 20 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  e.  ~P ~P O  |  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V )
105, 9syl5eqelr 2560 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )
11 pweq 4013 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1211sseq2d 3532 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
13 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
o  e.  s  <->  O  e.  s ) )
14 difeq1 3615 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1514eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  s ) )
1615ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  ( A. x  e.  s 
( o  \  x
)  e.  s  <->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s ) )
1713, 163anbi12d 1300 . . . . 5  |-  ( o  =  O  ->  (
( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
1812, 17anbi12d 710 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  (
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
1918abbidv 2603 . . 3  |-  ( o  =  O  ->  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
20 df-siga 27859 . . 3  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2119, 20fvmptg 5949 . 2  |-  ( ( O  e.  _V  /\  { s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V )  ->  (sigAlgebra `  O
)  =  { s  |  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2210, 21mpdan 668 1  |-  ( O  e.  _V  ->  (sigAlgebra `  O )  =  {
s  |  ( s 
C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   omcom 6685    ~<_ cdom 7515  sigAlgebracsiga 27858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-siga 27859
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