Theorem sigaval 27861

Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaval	|- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Distinct variable group:   x, s, O

Proof of Theorem sigaval

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2823	. . . 4 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
2		selpw 4017	. . . . . 6 |- ( s e. ~P ~P O <-> s C_ ~P O )
3	2	anbi1i 695	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii 2601	. . . 4 |- { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1, 4	eqtri 2496	. . 3 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
6		pwexg 4631	. . . 4 |- ( O e. _V -> ~P O e. _V )
7		pwexg 4631	. . . 4 |- ( ~P O e. _V -> ~P ~P O e. _V )
8		rabexg 4597	. . . 4 |- ( ~P ~P O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
9	6, 7, 8	3syl 20	. . 3 |- ( O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
10	5, 9	syl5eqelr 2560	. 2 |- ( O e. _V -> { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V )
11		pweq 4013	. . . . . 6 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
12	11	sseq2d 3532	. . . . 5 |- ( o = O -> ( s C_ ~P o <-> s C_ ~P O ) )
13		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( o e. s <-> O e. s ) )
14		difeq1 3615	. . . . . . . 8 |- ( o = O -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
15	14	eleq1d 2536	. . . . . . 7 |- ( o = O -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. s ) )
16	15	ralbidv 2903	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. s ( O \ x ) e. s ) )
17	13, 16	3anbi12d 1300	. . . . 5 |- ( o = O -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 710	. . . 4 |- ( o = O -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) ) )
19	18	abbidv 2603	. . 3 |- ( o = O -> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
20		df-siga 27859	. . 3 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
21	19, 20	fvmptg 5949	. 2 |- ( ( O e. _V /\ { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V ) -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
22	10, 21	mpdan 668	1 |- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   omcom 6685   ~<_ cdom 7515  sigAlgebracsiga 27858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-siga 27859

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