Theorem sigaval 26575

Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaval	|- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Distinct variable group:   x, s, O

Proof of Theorem sigaval

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2745	. . . 4 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
2		selpw 3888	. . . . . 6 |- ( s e. ~P ~P O <-> s C_ ~P O )
3	2	anbi1i 695	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii 2561	. . . 4 |- { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1, 4	eqtri 2463	. . 3 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
6		pwexg 4497	. . . 4 |- ( O e. _V -> ~P O e. _V )
7		pwexg 4497	. . . 4 |- ( ~P O e. _V -> ~P ~P O e. _V )
8		rabexg 4463	. . . 4 |- ( ~P ~P O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
9	6, 7, 8	3syl 20	. . 3 |- ( O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
10	5, 9	syl5eqelr 2528	. 2 |- ( O e. _V -> { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V )
11		pweq 3884	. . . . . 6 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
12	11	sseq2d 3405	. . . . 5 |- ( o = O -> ( s C_ ~P o <-> s C_ ~P O ) )
13		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( o e. s <-> O e. s ) )
14		difeq1 3488	. . . . . . . 8 |- ( o = O -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
15	14	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( o = O -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. s ) )
16	15	ralbidv 2756	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. s ( O \ x ) e. s ) )
17	13, 16	3anbi12d 1290	. . . . 5 |- ( o = O -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 710	. . . 4 |- ( o = O -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) ) )
19	18	abbidv 2563	. . 3 |- ( o = O -> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
20		df-siga 26573	. . 3 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
21	19, 20	fvmptg 5793	. 2 |- ( ( O e. _V /\ { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V ) -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
22	10, 21	mpdan 668	1 |- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 2993   \ cdif 3346   C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   omcom 6497   ~<_ cdom 7329  sigAlgebracsiga 26572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fv 5447  df-siga 26573

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