Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarim Structured version   Unicode version

Theorem sigarim 29910
Description: Signed area takes value in reals. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar  |-  G  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( Im `  ( ( * `  x )  x.  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
sigarim  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A G B )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem sigarim
StepHypRef Expression
1 sigar . . 3  |-  G  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( Im `  ( ( * `  x )  x.  y ) ) )
21sigarval 29909 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A G B )  =  ( Im
`  ( ( * `
 A )  x.  B ) ) )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
43cjcld 12704 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  A
)  e.  CC )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
64, 5mulcld 9425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  B
)  e.  CC )
76imcld 12703 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( * `  A
)  x.  B ) )  e.  RR )
82, 7eqeltrd 2517 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A G B )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   CCcc 9299   RRcr 9300    x. cmul 9306   *ccj 12604   Imcim 12606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-2 10399  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609
This theorem is referenced by:  sigaras  29914  sigarms  29915  sigarexp  29918  sigarperm  29919  sigarimcd  29921  sharhght  29924  cevathlem2  29927
  Copyright terms: Public domain W3C validator