Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarcol Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sigarcol 38619
 Description: Given three points , and such that , the point lies on the line going through and iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarcol.sigar
sigarcol.a
sigarcol.b
Assertion
Ref Expression
sigarcol
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sigarcol
StepHypRef Expression
1 sigarcol.sigar . . . . 5
2 sigarcol.a . . . . . . . 8
32simp2d 1043 . . . . . . 7
42simp3d 1044 . . . . . . 7
52simp1d 1042 . . . . . . 7
63, 4, 53jca 1210 . . . . . 6
76adantr 472 . . . . 5
8 sigarcol.b . . . . . 6
98adantr 472 . . . . 5
101sigarperm 38615 . . . . . . . . 9
112, 10syl 17 . . . . . . . 8
121sigarperm 38615 . . . . . . . . 9
136, 12syl 17 . . . . . . . 8
1411, 13eqtrd 2505 . . . . . . 7
1514eqeq1d 2473 . . . . . 6
1615biimpa 492 . . . . 5
171, 7, 9, 16sigardiv 38616 . . . 4
184, 3subcld 10005 . . . . . . . 8
1918adantr 472 . . . . . . 7
205, 3subcld 10005 . . . . . . . 8
2120adantr 472 . . . . . . 7
225adantr 472 . . . . . . . 8
233adantr 472 . . . . . . . 8
249neqned 2650 . . . . . . . 8
2522, 23, 24subne0d 10014 . . . . . . 7
2619, 21, 25divcan1d 10406 . . . . . 6
2726oveq2d 6324 . . . . 5
284adantr 472 . . . . . 6
2923, 28pncan3d 10008 . . . . 5
3027, 29eqtr2d 2506 . . . 4
31 oveq1 6315 . . . . . . 7
3231oveq2d 6324 . . . . . 6
3332eqeq2d 2481 . . . . 5
3433rspcev 3136 . . . 4
3517, 30, 34syl2anc 673 . . 3
3635ex 441 . 2
37143ad2ant1 1051 . . . 4
38 simp3 1032 . . . . . . . 8
3938oveq1d 6323 . . . . . . 7
4033ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
41 simp2 1031 . . . . . . . . . 10
4241recnd 9687 . . . . . . . . 9
4353ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10
4443, 40subcld 10005 . . . . . . . . 9
4542, 44mulcld 9681 . . . . . . . 8
4640, 45pncan2d 10007 . . . . . . 7
4739, 46eqtrd 2505 . . . . . 6
4847oveq1d 6323 . . . . 5
4942, 44mulcomd 9682 . . . . . 6
5049oveq1d 6323 . . . . 5
5148, 50eqtrd 2505 . . . 4
5244, 42mulcld 9681 . . . . . 6
531sigarac 38607 . . . . . 6
5452, 44, 53syl2anc 673 . . . . 5
551sigarls 38612 . . . . . . . 8
5644, 44, 41, 55syl3anc 1292 . . . . . . 7
571sigarid 38613 . . . . . . . . 9
5844, 57syl 17 . . . . . . . 8
5958oveq1d 6323 . . . . . . 7
6042mul02d 9849 . . . . . . 7
6156, 59, 603eqtrd 2509 . . . . . 6
6261negeqd 9889 . . . . 5
63 neg0 9940 . . . . . 6
6463a1i 11 . . . . 5
6554, 62, 643eqtrd 2509 . . . 4
6637, 51, 653eqtrd 2509 . . 3
6766rexlimdv3a 2873 . 2
6836, 67impbid 195 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  ccj 13236  cim 13238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator