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Theorem sigaraf 31904
Description: Signed area is additive by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar  |-  G  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( Im `  ( ( * `  x )  x.  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
sigaraf  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
) G B )  =  ( ( A G B )  +  ( C G B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem sigaraf
StepHypRef Expression
1 cjadd 12948 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  C )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  C ) ) )
21oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( * `  ( A  +  C
) )  x.  B
)  =  ( ( ( * `  A
)  +  ( * `
 C ) )  x.  B ) )
323adant2 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( * `  ( A  +  C )
)  x.  B )  =  ( ( ( * `  A )  +  ( * `  C ) )  x.  B ) )
4 simp1 995 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
54cjcld 13003 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
6 simp3 997 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
76cjcld 13003 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
* `  C )  e.  CC )
8 simp2 996 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
95, 7, 8adddird 9619 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( * `  A )  +  ( * `  C ) )  x.  B )  =  ( ( ( * `  A )  x.  B )  +  ( ( * `  C )  x.  B
) ) )
103, 9eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( * `  ( A  +  C )
)  x.  B )  =  ( ( ( * `  A )  x.  B )  +  ( ( * `  C )  x.  B
) ) )
1110fveq2d 5856 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
Im `  ( (
* `  ( A  +  C ) )  x.  B ) )  =  ( Im `  (
( ( * `  A )  x.  B
)  +  ( ( * `  C )  x.  B ) ) ) )
125, 8mulcld 9614 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( * `  A
)  x.  B )  e.  CC )
137, 8mulcld 9614 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( * `  C
)  x.  B )  e.  CC )
1412, 13imaddd 13022 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
Im `  ( (
( * `  A
)  x.  B )  +  ( ( * `
 C )  x.  B ) ) )  =  ( ( Im
`  ( ( * `
 A )  x.  B ) )  +  ( Im `  (
( * `  C
)  x.  B ) ) ) )
1511, 14eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
Im `  ( (
* `  ( A  +  C ) )  x.  B ) )  =  ( ( Im `  ( ( * `  A )  x.  B
) )  +  ( Im `  ( ( * `  C )  x.  B ) ) ) )
164, 6addcld 9613 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  +  C )  e.  CC )
17 sigar . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( Im `  ( ( * `  x )  x.  y ) ) )
1817sigarval 31901 . . 3  |-  ( ( ( A  +  C
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  C ) G B )  =  ( Im
`  ( ( * `
 ( A  +  C ) )  x.  B ) ) )
1916, 8, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
) G B )  =  ( Im `  ( ( * `  ( A  +  C
) )  x.  B
) ) )
2017sigarval 31901 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A G B )  =  ( Im
`  ( ( * `
 A )  x.  B ) ) )
21203adant3 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A G B )  =  ( Im `  (
( * `  A
)  x.  B ) ) )
22 3simpc 994 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC ) )
2322ancomd 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
2417sigarval 31901 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C G B )  =  ( Im
`  ( ( * `
 C )  x.  B ) ) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( C G B )  =  ( Im `  (
( * `  C
)  x.  B ) ) )
2621, 25oveq12d 6295 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A G B )  +  ( C G B ) )  =  ( ( Im
`  ( ( * `
 A )  x.  B ) )  +  ( Im `  (
( * `  C
)  x.  B ) ) ) )
2715, 19, 263eqtr4d 2492 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
) G B )  =  ( ( A G B )  +  ( C G B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   CCcc 9488    + caddc 9493    x. cmul 9495   *ccj 12903   Imcim 12905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-2 10595  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908
This theorem is referenced by:  sigaras  31906  sharhght  31916
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