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Theorem sigapildsys 29058
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
dynkin.l  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
Assertion
Ref Expression
sigapildsys  |-  (sigAlgebra `  O
)  =  ( P  i^i  L )
Distinct variable groups:    x, s,
y    x, L, y    O, s, x    x, P, y
Allowed substitution hints:    P( s)    L( s)    O( y)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables  f 
i  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
21sigapisys 29051 . . 3  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  P
3 dynkin.l . . . 4  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
43sigaldsys 29055 . . 3  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  L
52, 4ssini 3646 . 2  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ( P  i^i  L )
6 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  ( P  i^i  L ) )
76elin1d 3613 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  P )
81ispisys 29048 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  P  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  t ) 
C_  t ) )
97, 8sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  t ) 
C_  t ) )
109simpld 466 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  ~P ~P O )
1110elpwid 3952 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  C_  ~P O )
12 dif0 3749 . . . . . . 7  |-  ( O 
\  (/) )  =  O
136elin2d 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  L )
143isldsys 29052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  L  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1513, 14sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1615simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) ) )
1716simp2d 1043 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t )
1816simp1d 1042 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  (/)  e.  t )
19 difeq2 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O 
\  x )  =  ( O  \  (/) ) )
20 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  t  =  t )
2119, 20eleq12d 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( O  \  x )  e.  t  <->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2221rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  t  ->  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
)
2512, 24syl5eqelr 2554 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  O  e.  t )
26 unieq 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
27 uni0 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
2928adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  =  (/) )
3018ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  (/)  e.  t )
3129, 30eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  e.  t )
32 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
33320sdom 7721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  ~<  x 
<->  x  =/=  (/) )
3433biimpri 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  (/)  ->  (/)  ~<  x
)
3534adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  x
)
36 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  ~<_  om )
37 nnenom 12231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
3837ensymi 7637 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  NN
39 domentr 7646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
4036, 38, 39sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  ~<_  NN )
41 fodomr 7741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  ~<  x  /\  x  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> x
)
4235, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> x
)
43 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
4443iundisj 22580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) )
45 fofn 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> x  -> 
f  Fn  NN )
46 fniunfv 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. ran  f )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. ran  f )
48 forn 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4948unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U. ran  f  =  U. x )
5047, 49eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. x
)
5144, 50syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  =  U. x )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  =  U. x )
53 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
54 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  _V  ->  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) )  e.  _V )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) )  e.  _V
5655dfiun3 5095 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
57 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )
58 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
y
59 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
6059nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
6158, 60nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )
6257, 61nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
63 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
y  =  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )
64 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ i ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )
65 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ i
y
66 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ i NN
67 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ i
( f `  n
)
68 nfiu1 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ i U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i )
6967, 68nfdif 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ i
( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )
7066, 69nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ i
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
7170nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ i ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
7265, 71nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ i  y  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
7364, 72nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ i ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
74 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ i  n  e.  NN
7573, 74nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ i ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )
7665, 69nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ i  y  =  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) )
7775, 76nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
786ad7antr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
t  e.  ( P  i^i  L ) )
79 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  x  e.  ~P t
)
8079ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  x  e.  ~P t
)
8180elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  x  C_  t )
82 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : NN -onto-> x  -> 
f : NN --> x )
8382ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
f : NN --> x )
84 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  n  e.  NN )
8583, 84ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  x )
8681, 85sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  t )
87 fzofi 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1..^ n )  e.  Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( 1..^ n )  e.  Fin )
8981adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  ->  x  C_  t )
9083adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
f : NN --> x )
91 fzossnn 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( 1..^ n ) 
C_  NN )
9392sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
i  e.  NN )
9490, 93ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
( f `  i
)  e.  x )
9589, 94sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
( f `  i
)  e.  t )
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 29057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  e.  t )
9763, 96eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
y  e.  t )
98 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
99 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10099, 55elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10198, 100sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10262, 97, 101r19.29af 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  y  e.  t )
103102ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  -> 
( y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ->  y  e.  t ) )
104103ssrdv 3424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  C_  t )
105 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
106105mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  _V
107106rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  e. 
_V
108 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  _V  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  C_  t
) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  C_  t )
110104, 109sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t
)
11116simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )
112111ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) )
113 nnct 28369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  ~<_  om
114 mptct 28377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN  ~<_  om  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om
116 rnct 28375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ~<_  om 
->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om )
11843iundisj2 22581 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )
119 disjrnmpt 28272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )  -> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) y )
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  -> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )
121 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
x  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
)
122 disjeq1 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (Disj  y  e.  x  y  <-> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) y ) )
123121, 122anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y ) ) )
124 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  U. x  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
125124eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  ( U. x  e.  t  <->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) )
126123, 125imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t )  <->  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) ) )
127126rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t  ->  ( A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
)  ->  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) ) )
128127imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )  ->  (
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) )
129128imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y ) )  ->  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  e.  t )
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t )
13156, 130syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  e.  t )
13252, 131eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U. x  e.  t
)
13342, 132exlimddv 1789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  U. x  e.  t )
13431, 133pm2.61dane 2730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  t )
135134ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  ->  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) )
136135ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  ~P  t ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) )
13725, 17, 1363jca 1210 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e. 
~P  t ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) )
13811, 137jca 541 . . . 4  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
139 vex 3034 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
140 issiga 29007 . . . . 5  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( t  C_  ~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) ) )
141139, 140ax-mp 5 . . . 4  |-  ( t  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( t  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
142138, 141sylibr 217 . . 3  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
143142ssriv 3422 . 2  |-  ( P  i^i  L )  C_  (sigAlgebra `
 O )
1445, 143eqssi 3434 1  |-  (sigAlgebra `  O
)  =  ( P  i^i  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   Fincfn 7587   ficfi 7942   1c1 9558   NNcn 10631  ..^cfzo 11942  sigAlgebracsiga 29003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-siga 29004
This theorem is referenced by:  dynkin  29063
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