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Theorem sigapildsys 28596
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
dynkin.l  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
Assertion
Ref Expression
sigapildsys  |-  (sigAlgebra `  O
)  =  ( P  i^i  L )
Distinct variable groups:    x, s,
y    x, L, y    O, s, x    x, P, y
Allowed substitution hints:    P( s)    L( s)    O( y)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables  f 
i  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
21sigapisys 28589 . . 3  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  P
3 dynkin.l . . . 4  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
43sigaldsys 28593 . . 3  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  L
52, 4ssini 3661 . 2  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ( P  i^i  L )
6 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  ( P  i^i  L ) )
76elin1d 27818 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  P )
81ispisys 28586 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  P  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  t ) 
C_  t ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  t ) 
C_  t ) )
109simpld 457 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  ~P ~P O )
1110elpwid 3964 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  C_  ~P O )
12 dif0 3841 . . . . . . 7  |-  ( O 
\  (/) )  =  O
136elin2d 27819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  L )
143isldsys 28590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  L  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1513, 14sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1615simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) ) )
1716simp2d 1010 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t )
1816simp1d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  (/)  e.  t )
19 difeq2 3554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O 
\  x )  =  ( O  \  (/) ) )
20 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  t  =  t )
2119, 20eleq12d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( O  \  x )  e.  t  <->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2221rspcv 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  t  ->  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
)
2512, 24syl5eqelr 2495 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  O  e.  t )
26 unieq 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
27 uni0 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
2928adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  =  (/) )
3018ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  (/)  e.  t )
3129, 30eqeltrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  e.  t )
32 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
33320sdom 7685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  ~<  x 
<->  x  =/=  (/) )
3433biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  (/)  ->  (/)  ~<  x
)
3534adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  x
)
36 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  ~<_  om )
37 nnenom 12129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
3837ensymi 7602 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  NN
39 domentr 7611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
4036, 38, 39sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  ~<_  NN )
41 fodomr 7705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  ~<  x  /\  x  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> x
)
4235, 40, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> x
)
43 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
4443iundisj 22248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) )
45 fofn 5779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> x  -> 
f  Fn  NN )
46 fniunfv 6139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. ran  f )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. ran  f )
48 forn 5780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4948unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U. ran  f  =  U. x )
5047, 49eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. x
)
5144, 50syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  =  U. x )
5251adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  =  U. x )
53 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
54 difexg 4541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  _V  ->  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) )  e.  _V )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) )  e.  _V
5655dfiun3 5077 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
57 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )
58 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
y
59 nfmpt1 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
6059nfrn 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
6158, 60nfel 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )
6257, 61nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
63 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
y  =  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )
64 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ i ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )
65 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ i
y
66 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ i NN
67 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ i
( f `  n
)
68 nfiu1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ i U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i )
6967, 68nfdif 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ i
( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )
7066, 69nfmpt 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ i
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
7170nfrn 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ i ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
7265, 71nfel 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ i  y  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
7364, 72nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ i ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
74 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ i  n  e.  NN
7573, 74nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ i ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )
7665, 69nfeq 2575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ i  y  =  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) )
7775, 76nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
786ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
t  e.  ( P  i^i  L ) )
79 simp-4r 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  x  e.  ~P t
)
8079ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  x  e.  ~P t
)
8180elpwid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  x  C_  t )
82 fof 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : NN -onto-> x  -> 
f : NN --> x )
8382ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
f : NN --> x )
84 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  n  e.  NN )
8583, 84ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  x )
8681, 85sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  t )
87 fzofi 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1..^ n )  e.  Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( 1..^ n )  e.  Fin )
8981adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  ->  x  C_  t )
9083adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
f : NN --> x )
91 fzossnn 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( 1..^ n ) 
C_  NN )
9392sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
i  e.  NN )
9490, 93ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
( f `  i
)  e.  x )
9589, 94sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
( f `  i
)  e.  t )
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 28595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  e.  t )
9763, 96eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
y  e.  t )
98 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
99 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10099, 55elrnmpti 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10198, 100sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10262, 97, 101r19.29af 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  y  e.  t )
103102ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  -> 
( y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ->  y  e.  t ) )
104103ssrdv 3447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  C_  t )
105 nnex 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
106105mptex 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  _V
107106rnex 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  e. 
_V
108 elpwg 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  _V  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  C_  t
) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  C_  t )
110104, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t
)
11116simp3d 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )
112111ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) )
113 nnct 27961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  ~<_  om
114 mptct 27973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN  ~<_  om  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om
116 rnct 27971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ~<_  om 
->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om )
11843iundisj2 22249 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )
119 disjrnmpt 27863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )  -> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) y )
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  -> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )
121 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
x  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
)
122 disjeq1 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (Disj  y  e.  x  y  <-> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) y ) )
123121, 122anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y ) ) )
124 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  U. x  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
125124eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  ( U. x  e.  t  <->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) )
126123, 125imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t )  <->  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) ) )
127126rspcv 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t  ->  ( A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
)  ->  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) ) )
128127imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )  ->  (
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) )
129128imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y ) )  ->  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  e.  t )
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t )
13156, 130syl5eqel 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  e.  t )
13252, 131eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U. x  e.  t
)
13342, 132exlimddv 1747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  U. x  e.  t )
13431, 133pm2.61dane 2721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  t )
135134ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  ->  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) )
136135ralrimiva 2817 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  ~P  t ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) )
13725, 17, 1363jca 1177 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e. 
~P  t ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) )
13811, 137jca 530 . . . 4  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
139 vex 3061 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
140 issiga 28545 . . . . 5  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( t  C_  ~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) ) )
141139, 140ax-mp 5 . . . 4  |-  ( t  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( t  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
142138, 141sylibr 212 . . 3  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
143142ssriv 3445 . 2  |-  ( P  i^i  L )  C_  (sigAlgebra `
 O )
1445, 143eqssi 3457 1  |-  (sigAlgebra `  O
)  =  ( P  i^i  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   U_ciun 4270  Disj wdisj 4365   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ran crn 4823    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   omcom 6682    ~~ cen 7550    ~<_ cdom 7551    ~< csdm 7552   Fincfn 7553   ficfi 7903   1c1 9522   NNcn 10575  ..^cfzo 11852  sigAlgebracsiga 28541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-ac2 8874  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-ac 8528  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-siga 28542
This theorem is referenced by:  dynkin  28601
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