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Theorem sigapildsys 28986
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
dynkin.l  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
Assertion
Ref Expression
sigapildsys  |-  (sigAlgebra `  O
)  =  ( P  i^i  L )
Distinct variable groups:    x, s,
y    x, L, y    O, s, x    x, P, y
Allowed substitution hints:    P( s)    L( s)    O( y)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables  f 
i  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
21sigapisys 28979 . . 3  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  P
3 dynkin.l . . . 4  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
43sigaldsys 28983 . . 3  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  L
52, 4ssini 3686 . 2  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ( P  i^i  L )
6 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  ( P  i^i  L ) )
76elin1d 28146 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  P )
81ispisys 28976 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  P  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  t ) 
C_  t ) )
97, 8sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  t ) 
C_  t ) )
109simpld 461 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  ~P ~P O )
1110elpwid 3990 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  C_  ~P O )
12 dif0 3866 . . . . . . 7  |-  ( O 
\  (/) )  =  O
136elin2d 28147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  L )
143isldsys 28980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  L  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1513, 14sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1615simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) ) )
1716simp2d 1019 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t )
1816simp1d 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  (/)  e.  t )
19 difeq2 3578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O 
\  x )  =  ( O  \  (/) ) )
20 eqidd 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  t  =  t )
2119, 20eleq12d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( O  \  x )  e.  t  <->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2221rspcv 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  t  ->  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
) )
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( O  \  (/) )  e.  t
)
2512, 24syl5eqelr 2516 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  O  e.  t )
26 unieq 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
27 uni0 4244 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
2928adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  =  (/) )
3018ad3antrrr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  (/)  e.  t )
3129, 30eqeltrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  e.  t )
32 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
33320sdom 7707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  ~<  x 
<->  x  =/=  (/) )
3433biimpri 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  (/)  ->  (/)  ~<  x
)
3534adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  x
)
36 simplr 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  ~<_  om )
37 nnenom 12194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
3837ensymi 7624 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  NN
39 domentr 7633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
4036, 38, 39sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  ~<_  NN )
41 fodomr 7727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  ~<  x  /\  x  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> x
)
4235, 40, 41syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> x
)
43 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
4443iundisj 22493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) )
45 fofn 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> x  -> 
f  Fn  NN )
46 fniunfv 6165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. ran  f )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. ran  f )
48 forn 5811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4948unieqd 4227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U. ran  f  =  U. x )
5047, 49eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. x
)
5144, 50syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  =  U. x )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  =  U. x )
53 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
54 difexg 4570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  _V  ->  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) )  e.  _V )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) )  e.  _V
5655dfiun3 5106 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
57 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )
58 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
y
59 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
6059nfrn 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
6158, 60nfel 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )
6257, 61nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
63 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
y  =  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )
64 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ i ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )
65 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ i
y
66 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ i NN
67 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ i
( f `  n
)
68 nfiu1 4327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ i U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i )
6967, 68nfdif 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ i
( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )
7066, 69nfmpt 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ i
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
7170nfrn 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ i ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )
7265, 71nfel 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ i  y  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
7364, 72nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ i ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
74 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ i  n  e.  NN
7573, 74nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ i ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )
7665, 69nfeq 2596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ i  y  =  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) )
7775, 76nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
786ad7antr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
t  e.  ( P  i^i  L ) )
79 simp-4r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  x  e.  ~P t
)
8079ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  x  e.  ~P t
)
8180elpwid 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  x  C_  t )
82 fof 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : NN -onto-> x  -> 
f : NN --> x )
8382ad4antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
f : NN --> x )
84 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ->  n  e.  NN )
8583, 84ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  x )
8681, 85sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  t )
87 fzofi 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1..^ n )  e.  Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( 1..^ n )  e.  Fin )
8981adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  ->  x  C_  t )
9083adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
f : NN --> x )
91 fzossnn 11965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( 1..^ n ) 
C_  NN )
9392sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
i  e.  NN )
9490, 93ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
( f `  i
)  e.  x )
9589, 94sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  /\  i  e.  ( 1..^ n ) )  -> 
( f `  i
)  e.  t )
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 28985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  e.  t )
9763, 96eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (
( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  -> 
y  e.  t )
98 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
99 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10099, 55elrnmpti 5102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10198, 100sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )
10262, 97, 101r19.29af 2969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  /\  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) )  ->  y  e.  t )
103102ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  -> 
( y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ->  y  e.  t ) )
104103ssrdv 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  C_  t )
105 nnex 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
106105mptex 6149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  _V
107106rnex 6739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  e. 
_V
108 elpwg 3988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  _V  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  C_  t
) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  C_  t )
110104, 109sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t
)
11116simp3d 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )
112111ad4antr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) )
113 nnct 28290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  ~<_  om
114 mptct 28302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN  ~<_  om  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om
116 rnct 28300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  ~<_  om 
->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om )
11843iundisj2 22494 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )
119 disjrnmpt 28191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) )  -> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) y )
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  -> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )
121 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
x  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om )
)
122 disjeq1 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (Disj  y  e.  x  y  <-> Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) ) y ) )
123121, 122anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y ) ) )
124 unieq 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  U. x  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) )
125124eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  ( U. x  e.  t  <->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) )
126123, 125imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t )  <->  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) ) )
127126rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  e.  ~P t  ->  ( A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
)  ->  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) ) )
128127imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )  ->  (
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t ) )
129128imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) 
\  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  ~P t  /\  A. x  e. 
~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) ) y ) )  ->  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `  i
) ) )  e.  t )
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  \  U_ i  e.  (
1..^ n ) ( f `  i ) ) )  e.  t )
13156, 130syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ i  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 i ) )  e.  t )
13252, 131eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e. 
~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> x )  ->  U. x  e.  t
)
13342, 132exlimddv 1771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L
)  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  U. x  e.  t )
13431, 133pm2.61dane 2743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  t )
135134ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  ( P  i^i  L )  /\  x  e.  ~P t
)  ->  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) )
136135ralrimiva 2840 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  A. x  e.  ~P  t ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) )
13725, 17, 1363jca 1186 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e. 
~P  t ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) )
13811, 137jca 535 . . . 4  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  ( t  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
139 vex 3085 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
140 issiga 28935 . . . . 5  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( t  C_  ~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) ) )
141139, 140ax-mp 5 . . . 4  |-  ( t  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( t  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
142138, 141sylibr 216 . . 3  |-  ( t  e.  ( P  i^i  L )  ->  t  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
143142ssriv 3469 . 2  |-  ( P  i^i  L )  C_  (sigAlgebra `
 O )
1445, 143eqssi 3481 1  |-  (sigAlgebra `  O
)  =  ( P  i^i  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   omcom 6704    ~~ cen 7572    ~<_ cdom 7573    ~< csdm 7574   Fincfn 7575   ficfi 7928   1c1 9542   NNcn 10611  ..^cfzo 11917  sigAlgebracsiga 28931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-siga 28932
This theorem is referenced by:  dynkin  28991
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