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Theorem sigaex 28767
Description: Lemma for issiga 28769 and isrnsiga 28771 The set of sigma algebra with base set  o is a set. Note: a more generic version with  ( O  e. 
_V  ->  ... ) could be useful for sigaval 28768. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaex  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
Distinct variable group:    o, s

Proof of Theorem sigaex
StepHypRef Expression
1 df-rab 2782 . . 3  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
2 selpw 3983 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P ~P o  <->  s 
C_  ~P o )
32anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
43abbii 2554 . . 3  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
51, 4eqtri 2449 . 2  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
6 vex 3081 . . . 4  |-  o  e. 
_V
7 pwexg 4600 . . . 4  |-  ( o  e.  _V  ->  ~P o  e.  _V )
8 pwexg 4600 . . . 4  |-  ( ~P o  e.  _V  ->  ~P ~P o  e.  _V )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  ~P ~P o  e.  _V
109rabex 4567 . 2  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V
115, 10eqeltrri 2505 1  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   class class class wbr 4417   omcom 6697    ~<_ cdom 7566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-pow 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-rab 2782  df-v 3080  df-in 3440  df-ss 3447  df-pw 3978
This theorem is referenced by:  issiga  28769  isrnsiga  28771
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