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Theorem sigaex 26564
Description: Lemma for issiga 26566 and isrnsiga 26568 The set of sigma algebra with base set  o is a set. Note: a more generic version with  ( O  e. 
_V  ->  ... ) could be useful for sigaval 26565. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaex  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
Distinct variable group:    o, s

Proof of Theorem sigaex
StepHypRef Expression
1 df-rab 2736 . . 3  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
2 selpw 3879 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P ~P o  <->  s 
C_  ~P o )
32anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
43abbii 2561 . . 3  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
51, 4eqtri 2463 . 2  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
6 vex 2987 . . . 4  |-  o  e. 
_V
7 pwexg 4488 . . . 4  |-  ( o  e.  _V  ->  ~P o  e.  _V )
8 pwexg 4488 . . . 4  |-  ( ~P o  e.  _V  ->  ~P ~P o  e.  _V )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  ~P ~P o  e.  _V
109rabex 4455 . 2  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V
115, 10eqeltrri 2514 1  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    C_ wss 3340   ~Pcpw 3872   U.cuni 4103   class class class wbr 4304   omcom 6488    ~<_ cdom 7320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-pow 4482
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-rab 2736  df-v 2986  df-in 3347  df-ss 3354  df-pw 3874
This theorem is referenced by:  issiga  26566  isrnsiga  26568
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