Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Unicode version

Theorem sigaclfu2 26700
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on  ( 1..^ N ) (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Distinct variable groups:    S, k    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4352 . . . 4  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
2 fzossnn 11697 . . . . . 6  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
3 undif 3859 . . . . . 6  |-  ( ( 1..^ N )  C_  NN 
<->  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) )  =  NN )
42, 3mpbi 208 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) )  =  NN
5 iuneq1 4284 . . . . 5  |-  ( ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) )  =  NN 
->  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  = 
U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )
7 iftrue 3897 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  A )
87iuneq2i 4289 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
9 eldifn 3579 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )
10 iffalse 3899 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1..^ N )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
1211iuneq2i 4289 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)
13 iun0 4326 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)  =  (/)
1412, 13eqtri 2480 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/)
158, 14uneq12i 3608 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  ( 1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )  =  (
U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
161, 6, 153eqtr3i 2488 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
17 un0 3762 . . 3  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
1816, 17eqtri 2480 . 2  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
19 0elsiga 26693 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
20 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
21 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S
) )
2220, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  A  e.  S )
23 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  (/)  e.  S
)
2422, 23ifclda 3921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S
)
2524exp31 604 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )  ->  (
k  e.  NN  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) ) )
2625ralimdv2 2897 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) )
2726imp 429 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
2819, 27sylan 471 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
29 sigaclcu2 26699 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
3028, 29syldan 470 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
3118, 30syl5eqelr 2544 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    \ cdif 3425    u. cun 3426    C_ wss 3428   (/)c0 3737   ifcif 3891   U.cuni 4191   U_ciun 4271   ran crn 4941  (class class class)co 6192   1c1 9386   NNcn 10425  ..^cfzo 11651  sigAlgebracsiga 26686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-card 8212  df-acn 8215  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-siga 26687
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  26701  measiuns  26767  measiun  26768  meascnbl  26769
  Copyright terms: Public domain W3C validator