Theorem sigaclcu2 26701

Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu2	|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U_ k e. NN A e. S )

Distinct variable group:   S, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 4303	. . 3 |- ( A. k e. NN A e. S -> U_ k e. NN A = U. { x | E. k e. NN x = A } )
2	1	adantl 466	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U_ k e. NN A = U. { x | E. k e. NN x = A } )
3		simpl 457	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
4		abid 2438	. . . . . . 7 |- ( x e. { x | E. k e. NN x = A } <-> E. k e. NN x = A )
5		eleq1a 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. S -> ( x = A -> x e. S ) )
6	5	ralimi 2814	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN A e. S -> A. k e. NN ( x = A -> x e. S ) )
7		r19.23v 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN ( x = A -> x e. S ) <-> ( E. k e. NN x = A -> x e. S ) )
8	6, 7	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN A e. S -> ( E. k e. NN x = A -> x e. S ) )
9	8	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. NN A e. S /\ E. k e. NN x = A ) -> x e. S )
10	9	adantll 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) /\ E. k e. NN x = A ) -> x e. S )
11	4, 10	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) /\ x e. { x | E. k e. NN x = A } ) -> x e. S )
12	11	ralrimiva 2825	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> A. x e. { x | E. k e. NN x = A } x e. S )
13		nfab1 2615	. . . . . 6 |- F/_ x { x | E. k e. NN x = A }
14		nfcv 2613	. . . . . 6 |- F/_ x S
15	13, 14	dfss3f 3449	. . . . 5 |- ( { x | E. k e. NN x = A } C_ S <-> A. x e. { x | E. k e. NN x = A } x e. S )
16	12, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> { x | E. k e. NN x = A } C_ S )
17		elpw2g 4556	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S <-> { x | E. k e. NN x = A } C_ S ) )
18	17	adantr 465	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> ( { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S <-> { x | E. k e. NN x = A } C_ S ) )
19	16, 18	mpbird 232	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S )
20		nnct 26150	. . . 4 |- NN ~<_ om
21		abrexct 26164	. . . 4 |- ( NN ~<_ om -> { x | E. k e. NN x = A } ~<_ om )
22	20, 21	mp1i 12	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> { x | E. k e. NN x = A } ~<_ om )
23		sigaclcu 26698	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S /\ { x | E. k e. NN x = A } ~<_ om ) -> U. { x | E. k e. NN x = A } e. S )
24	3, 19, 22, 23	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U. { x | E. k e. NN x = A } e. S )
25	2, 24	eqeltrd 2539	1 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U_ k e. NN A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   C_ wss 3429   ~Pcpw 3961   U.cuni 4192   U_ciun 4272   class class class wbr 4393   ran crn 4942   omcom 6579   ~<_ cdom 7411   NNcn 10426  sigAlgebracsiga 26688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-card 8213  df-acn 8216  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-siga 26689

This theorem is referenced by:  sigaclfu2  26702  sigaclcu3  26703  measiun  26770