Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Structured version   Unicode version

Theorem sigaclcu2 28350
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on 
NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Distinct variable group:    S, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4347 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
21adantl 464 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
3 simpl 455 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
4 abid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  <->  E. k  e.  NN  x  =  A )
5 eleq1a 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
x  =  A  ->  x  e.  S )
)
65ralimi 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  ( x  =  A  ->  x  e.  S ) )
7 r19.23v 2934 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
x  =  A  ->  x  e.  S )  <->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
86, 7sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
98imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  S  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
109adantll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
114, 10sylan2b 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
)  ->  x  e.  S )
1211ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
13 nfab1 2618 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
14 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ x S
1513, 14dfss3f 3481 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S  <->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
1612, 15sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S )
17 elpw2g 4600 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1817adantr 463 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1916, 18mpbird 232 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S )
20 nnct 27759 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
21 abrexct 27773 . . . 4  |-  ( NN  ~<_  om  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
2220, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
23 sigaclcu 28347 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )  ->  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
243, 19, 22, 23syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U. {
x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
252, 24eqeltrd 2542 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   U_ciun 4315   class class class wbr 4439   ran crn 4989   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   NNcn 10531  sigAlgebracsiga 28337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-siga 28338
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  28351  sigaclcu3  28352  measiun  28426
  Copyright terms: Public domain W3C validator