Theorem sigaclcu2 28350

Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu2	|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U_ k e. NN A e. S )

Distinct variable group:   S, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 4347	. . 3 |- ( A. k e. NN A e. S -> U_ k e. NN A = U. { x | E. k e. NN x = A } )
2	1	adantl 464	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U_ k e. NN A = U. { x | E. k e. NN x = A } )
3		simpl 455	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
4		abid 2441	. . . . . . 7 |- ( x e. { x | E. k e. NN x = A } <-> E. k e. NN x = A )
5		eleq1a 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. S -> ( x = A -> x e. S ) )
6	5	ralimi 2847	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN A e. S -> A. k e. NN ( x = A -> x e. S ) )
7		r19.23v 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN ( x = A -> x e. S ) <-> ( E. k e. NN x = A -> x e. S ) )
8	6, 7	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN A e. S -> ( E. k e. NN x = A -> x e. S ) )
9	8	imp 427	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. NN A e. S /\ E. k e. NN x = A ) -> x e. S )
10	9	adantll 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) /\ E. k e. NN x = A ) -> x e. S )
11	4, 10	sylan2b 473	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) /\ x e. { x | E. k e. NN x = A } ) -> x e. S )
12	11	ralrimiva 2868	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> A. x e. { x | E. k e. NN x = A } x e. S )
13		nfab1 2618	. . . . . 6 |- F/_ x { x | E. k e. NN x = A }
14		nfcv 2616	. . . . . 6 |- F/_ x S
15	13, 14	dfss3f 3481	. . . . 5 |- ( { x | E. k e. NN x = A } C_ S <-> A. x e. { x | E. k e. NN x = A } x e. S )
16	12, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> { x | E. k e. NN x = A } C_ S )
17		elpw2g 4600	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S <-> { x | E. k e. NN x = A } C_ S ) )
18	17	adantr 463	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> ( { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S <-> { x | E. k e. NN x = A } C_ S ) )
19	16, 18	mpbird 232	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S )
20		nnct 27759	. . . 4 |- NN ~<_ om
21		abrexct 27773	. . . 4 |- ( NN ~<_ om -> { x | E. k e. NN x = A } ~<_ om )
22	20, 21	mp1i 12	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> { x | E. k e. NN x = A } ~<_ om )
23		sigaclcu 28347	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ { x | E. k e. NN x = A } e. ~P S /\ { x | E. k e. NN x = A } ~<_ om ) -> U. { x | E. k e. NN x = A } e. S )
24	3, 19, 22, 23	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U. { x | E. k e. NN x = A } e. S )
25	2, 24	eqeltrd 2542	1 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN A e. S ) -> U_ k e. NN A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   U_ciun 4315   class class class wbr 4439   ran crn 4989   omcom 6673   ~<_ cdom 7507   NNcn 10531  sigAlgebracsiga 28337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-siga 28338

This theorem is referenced by:  sigaclfu2  28351  sigaclcu3  28352  measiun  28426