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Theorem sigaclci 28281
Description: A sigma-algebra is closed under countable intersection. Deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclci  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )

Proof of Theorem sigaclci
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isrnsigau 28276 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
21simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
32simp2d 1007 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
43adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
5 elpwi 3936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  S )
6 ssrexv 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  ->  ( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z )  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
)  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) ) )
87ss2abdv 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) } )
9 isrnsigau 28276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S ( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) ) )
109simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S
( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) )
1110simp2d 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
12 uniiunlem 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
)
158, 14sylan9ssr 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S )
16 abrexexg 6674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  _V )
17 elpwg 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1918adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S 
<->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  S ) )
2015, 19mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S )
212simp3d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2221adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2320, 22jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S  /\  A. x  e. 
~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
24 abrexdom2jm 27524 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A )
25 domtr 7487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
2624, 25sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~P S  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om )
2726ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
2827adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om ) )
29 breq1 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
30 unieq 4171 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  U. x  =  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } )
3130eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( U. x  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
3229, 31imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  <->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) ) )
3332rspcva 3133 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
3423, 28, 33sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
355adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  C_  S
)
3611adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
37 ssralv 3478 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
3835, 36, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z )  e.  S )
39 dfiun2g 4275 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) } )
40 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4234, 41sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
43 difeq2 3530 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) ) )
4443eleq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4544rspccv 3132 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  -> 
( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
464, 42, 45sylsyld 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4746adantrd 466 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
4847imp 427 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S )
49 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  e.  ~P S )
50 pwuni 4593 . . . . . . 7  |-  S  C_  ~P U. S
515, 50syl6ss 3429 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  ~P U. S
)
52 iundifdifd 27558 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P U. S  -> 
( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5349, 51, 523syl 20 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5453adantld 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
55 eleq1 2454 . . . 4  |-  ( |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  -> 
( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
5654, 55syl6 33 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) ) )
5756imp 427 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
5848, 57mpbird 232 1  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   |^|cint 4199   U_ciun 4243   class class class wbr 4367   ran crn 4914   omcom 6599    ~<_ cdom 7433  sigAlgebracsiga 28256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-ac2 8756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-card 8233  df-acn 8236  df-ac 8410  df-siga 28257
This theorem is referenced by:  difelsiga  28282  sigapisys  28303
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