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Theorem sigaclci 27957
Description: A sigma-algebra is closed under countable intersection. Deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclci  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )

Proof of Theorem sigaclci
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isrnsigau 27952 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
21simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
32simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
5 elpwi 4025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  S )
6 ssrexv 3570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  ->  ( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z )  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
)  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) ) )
87ss2abdv 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) } )
9 isrnsigau 27952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S ( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) ) )
109simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S
( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) )
1110simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
12 uniiunlem 3593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
)
158, 14sylan9ssr 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S )
16 abrexexg 6770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  _V )
17 elpwg 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S 
<->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  S ) )
2015, 19mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S )
212simp3d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2320, 22jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S  /\  A. x  e. 
~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
24 abrexdom2jm 27229 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A )
25 domtr 7580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~P S  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om )
2726ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
2827adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om ) )
29 breq1 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
30 unieq 4259 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  U. x  =  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } )
3130eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( U. x  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  <->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) ) )
3332rspcva 3217 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
3423, 28, 33sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
355adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  C_  S
)
3611adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
37 ssralv 3569 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
3835, 36, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z )  e.  S )
39 dfiun2g 4363 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) } )
40 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4234, 41sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
43 difeq2 3621 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) ) )
4443eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4544rspccv 3216 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  -> 
( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
464, 42, 45sylsyld 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4746adantrd 468 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
4847imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S )
49 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  e.  ~P S )
50 pwuni 4684 . . . . . . 7  |-  S  C_  ~P U. S
515, 50syl6ss 3521 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  ~P U. S
)
52 iundifdifd 27252 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P U. S  -> 
( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5349, 51, 523syl 20 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5453adantld 467 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
55 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  -> 
( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
5654, 55syl6 33 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) ) )
5756imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
5848, 57mpbird 232 1  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   |^|cint 4288   U_ciun 4331   class class class wbr 4453   ran crn 5006   omcom 6695    ~<_ cdom 7526  sigAlgebracsiga 27932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-ac2 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-siga 27933
This theorem is referenced by:  difelsiga  27958
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