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Theorem sigaclci 28002
Description: A sigma-algebra is closed under countable intersection. Deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclci  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )

Proof of Theorem sigaclci
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isrnsigau 27997 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
21simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
32simp2d 1008 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
5 elpwi 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  S )
6 ssrexv 3548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  ->  ( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z )  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
)  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) ) )
87ss2abdv 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) } )
9 isrnsigau 27997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S ( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) ) )
109simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S
( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) )
1110simp2d 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
12 uniiunlem 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
)
158, 14sylan9ssr 3501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S )
16 abrexexg 6757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  _V )
17 elpwg 4002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S 
<->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  S ) )
2015, 19mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S )
212simp3d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2320, 22jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S  /\  A. x  e. 
~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
24 abrexdom2jm 27275 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A )
25 domtr 7567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~P S  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om )
2726ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
2827adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om ) )
29 breq1 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
30 unieq 4239 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  U. x  =  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } )
3130eleq1d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( U. x  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  <->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) ) )
3332rspcva 3192 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
3423, 28, 33sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
355adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  C_  S
)
3611adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
37 ssralv 3547 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
3835, 36, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z )  e.  S )
39 dfiun2g 4344 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) } )
40 eleq1 2513 . . . . . . 7  |-  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4234, 41sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
43 difeq2 3599 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) ) )
4443eleq1d 2510 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4544rspccv 3191 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  -> 
( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
464, 42, 45sylsyld 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4746adantrd 468 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
4847imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S )
49 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  e.  ~P S )
50 pwuni 4665 . . . . . . 7  |-  S  C_  ~P U. S
515, 50syl6ss 3499 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  ~P U. S
)
52 iundifdifd 27298 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P U. S  -> 
( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5349, 51, 523syl 20 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5453adantld 467 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
55 eleq1 2513 . . . 4  |-  ( |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  -> 
( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
5654, 55syl6 33 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) ) )
5756imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
5848, 57mpbird 232 1  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cab 2426    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    \ cdif 3456    C_ wss 3459   (/)c0 3768   ~Pcpw 3994   U.cuni 4231   |^|cint 4268   U_ciun 4312   class class class wbr 4434   ran crn 4987   omcom 6682    ~<_ cdom 7513  sigAlgebracsiga 27977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-siga 27978
This theorem is referenced by:  difelsiga  28003
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