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Theorem sigaclci 26574
Description: A sigma-algebra is closed under countable intersection. Deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclci  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )

Proof of Theorem sigaclci
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isrnsigau 26569 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
21simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
32simp2d 1001 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
5 elpwi 3868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  S )
6 ssrexv 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  ->  ( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z )  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
)  ->  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) ) )
87ss2abdv 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) } )
9 isrnsigau 26569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S ( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) ) )
109simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  /\  A. z  e.  ~P  S
( z  ~<_  om  ->  U. z  e.  S ) ) )
1110simp2d 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
12 uniiunlem 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { y  |  E. z  e.  S  y  =  ( U. S  \  z
) }  C_  S
)
158, 14sylan9ssr 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S )
16 abrexexg 6551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  _V )
17 elpwg 3867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } 
C_  S ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S 
<->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  C_  S ) )
2015, 19mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S )
212simp3d 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
2320, 22jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  ~P S  /\  A. x  e. 
~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
24 abrexdom2jm 25888 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P S  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A )
25 domtr 7361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~P S  /\  A  ~<_  om )  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om )
2726ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P S  -> 
( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
2827adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om ) )
29 breq1 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om )
)
30 unieq 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  U. x  =  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) } )
3130eleq1d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( U. x  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ->  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  <->  ( {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) ) )
3332rspcva 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  ~P S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )  -> 
( { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
3423, 28, 33sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z ) }  e.  S ) )
355adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  C_  S
)
3611adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  S  ( U. S  \  z )  e.  S )
37 ssralv 3415 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
3835, 36, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A. z  e.  A  ( U. S  \  z )  e.  S )
39 dfiun2g 4201 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) } )
40 eleq1 2502 . . . . . . 7  |-  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  =  U. {
y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  <->  U. { y  |  E. z  e.  A  y  =  ( U. S  \  z
) }  e.  S
) )
4234, 41sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S ) )
43 difeq2 3467 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) ) )
4443eleq1d 2508 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z )  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4544rspccv 3069 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  -> 
( U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
)  e.  S  -> 
( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
464, 42, 45sylsyld 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  ~<_  om  ->  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
4746adantrd 468 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
4847imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S )
49 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  A  e.  ~P S )
50 pwuni 4522 . . . . . . 7  |-  S  C_  ~P U. S
515, 50syl6ss 3367 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P S  ->  A  C_  ~P U. S
)
52 iundifdifd 25911 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P U. S  -> 
( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5349, 51, 523syl 20 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
5453adantld 467 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  =  ( U. S  \ 
U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) ) ) )
55 eleq1 2502 . . . 4  |-  ( |^| A  =  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  -> 
( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z
) )  e.  S
) )
5654, 55syl6 33 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S
)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) ) )
5756imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| A  e.  S  <->  ( U. S  \  U_ z  e.  A  ( U. S  \  z ) )  e.  S ) )
5848, 57mpbird 232 1  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  ~P S )  /\  ( A  ~<_  om  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  |^| A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2428    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   |^|cint 4127   U_ciun 4170   class class class wbr 4291   ran crn 4840   omcom 6475    ~<_ cdom 7307  sigAlgebracsiga 26549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-ac2 8631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-card 8108  df-acn 8111  df-ac 8285  df-siga 26550
This theorem is referenced by:  difelsiga  26575
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