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Theorem sibfof 29246
 Description: Applying function operations on simple functions results in simple functions with regard to the destination space, provided the operation fulfills a simple condition. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b
sitgval.j
sitgval.s sigaGen
sitgval.0
sitgval.x
sitgval.h RRHomScalar
sitgval.1
sitgval.2 measures
sibfmbl.1 sitg
sibfof.c
sibfof.0
sibfof.1
sibfof.2 sitg
sibfof.3
sibfof.4
sibfof.5
Assertion
Ref Expression
sibfof sitg

Proof of Theorem sibfof
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfof.1 . . . . . . . 8
2 sibfof.0 . . . . . . . . . . 11
3 sitgval.b . . . . . . . . . . . 12
4 sitgval.j . . . . . . . . . . . 12
53, 4tpsuni 20030 . . . . . . . . . . 11
62, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
76sqxpeqd 4865 . . . . . . . . 9
87feq2d 5725 . . . . . . . 8
91, 8mpbid 215 . . . . . . 7
109fovrnda 6459 . . . . . 6
11 sitgval.s . . . . . . 7 sigaGen
12 sitgval.0 . . . . . . 7
13 sitgval.x . . . . . . 7
14 sitgval.h . . . . . . 7 RRHomScalar
15 sitgval.1 . . . . . . 7
16 sitgval.2 . . . . . . 7 measures
17 sibfmbl.1 . . . . . . 7 sitg
183, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17sibff 29242 . . . . . 6
19 sibfof.2 . . . . . . 7 sitg
203, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19sibff 29242 . . . . . 6
21 dmexg 6743 . . . . . . 7 measures
22 uniexg 6607 . . . . . . 7
2316, 21, 223syl 18 . . . . . 6
24 inidm 3632 . . . . . 6
2510, 18, 20, 23, 23, 24off 6565 . . . . 5
26 sibfof.3 . . . . . . . 8
27 sibfof.c . . . . . . . . 9
28 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2927, 28tpsuni 20030 . . . . . . . 8
3026, 29syl 17 . . . . . . 7
31 fvex 5889 . . . . . . . 8
32 unisg 29039 . . . . . . . 8 sigaGen
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 sigaGen
3430, 33syl6eqr 2523 . . . . . 6 sigaGen
3534feq3d 5726 . . . . 5 sigaGen
3625, 35mpbid 215 . . . 4 sigaGen
3731a1i 11 . . . . . . 7
3837sgsiga 29038 . . . . . 6 sigaGen sigAlgebra
39 uniexg 6607 . . . . . 6 sigaGen sigAlgebra sigaGen
4038, 39syl 17 . . . . 5 sigaGen
4140, 23elmapd 7504 . . . 4 sigaGen sigaGen
4236, 41mpbird 240 . . 3 sigaGen
43 inundif 3836 . . . . . . 7
4443imaeq2i 5172 . . . . . 6
45 ffun 5742 . . . . . . . 8
46 unpreima 6021 . . . . . . . 8
4725, 45, 463syl 18 . . . . . . 7
4847adantr 472 . . . . . 6 sigaGen
4944, 48syl5eqr 2519 . . . . 5 sigaGen
50 dmmeas 29097 . . . . . . . 8 measures sigAlgebra
5116, 50syl 17 . . . . . . 7 sigAlgebra
5251adantr 472 . . . . . 6 sigaGen sigAlgebra
53 imaiun 6168 . . . . . . . 8
54 iunid 4324 . . . . . . . . 9
5554imaeq2i 5172 . . . . . . . 8
5653, 55eqtr3i 2495 . . . . . . 7
57 inss2 3644 . . . . . . . . . 10
586feq3d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15
5918, 58mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
606feq3d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15
6120, 60mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15
631, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
6459, 61, 23, 63ofpreima2 28344 . . . . . . . . . . . . 13
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
6651adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 sigAlgebra
6751ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigAlgebra
68 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7370, 72syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7569, 74syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7751adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 sigAlgebra
78 sibfof.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7978sgsiga 29038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen sigAlgebra
8011, 79syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sigAlgebra
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 sigAlgebra
823, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17sibfmbl 29241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 MblFnM
8382adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 MblFnM
844tpstop 20031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85 cldssbrsiga 29083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 sigaGen
862, 84, 853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 sigaGen
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen
8878adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
916adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9290, 91eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
93 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9493t1sncld 20419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9588, 92, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9687, 95sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sigaGen
9796, 11syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9877, 81, 83, 97mbfmcnvima 29152 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9968, 76, 98syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
1003, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19sibfmbl 29241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 MblFnM
101100adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 MblFnM
102 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103, 91eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10593t1sncld 20419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10688, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10787, 106sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sigaGen
108107, 11syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10977, 81, 101, 108mbfmcnvima 29152 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11068, 76, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
111 inelsiga 29031 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigAlgebra
11267, 99, 110, 111syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
113112ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13
1143, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17sibfrn 29243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1153, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19sibfrn 29243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 xpfi 7860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117114, 115, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119 ssdomg 7633 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120117, 118, 119mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15
121 isfinite 8175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123 sdomdom 7615 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124117, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 domtr 7640 . . . . . . . . . . . . . . 15
126120, 124, 125syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
127126adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
128 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
129128sigaclcuni 29014 . . . . . . . . . . . . 13 sigAlgebra
13066, 113, 127, 129syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
13165, 130eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11
132131ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10
133 ssralv 3479 . . . . . . . . . 10
13457, 132, 133mpsyl 64 . . . . . . . . 9
135134adantr 472 . . . . . . . 8 sigaGen
136 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . 14
1371, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
138 imafi 7885 . . . . . . . . . . . . 13
139137, 117, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
14018, 20, 9, 23ofrn2 28317 . . . . . . . . . . . 12
141 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . 12
142139, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
143 ssdomg 7633 . . . . . . . . . . 11
144142, 57, 143mpisyl 21 . . . . . . . . . 10
145 isfinite 8175 . . . . . . . . . . . 12
146142, 145sylib 201 . . . . . . . . . . 11
147 sdomdom 7615 . . . . . . . . . . 11
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10
149 domtr 7640 . . . . . . . . . 10
150144, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . 9
151150adantr 472 . . . . . . . 8 sigaGen
152 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
153152sigaclcuni 29014 . . . . . . . 8 sigAlgebra
15452, 135, 151, 153syl3anc 1292 . . . . . . 7 sigaGen
15556, 154syl5eqelr 2554 . . . . . 6 sigaGen
156 difpreima 6023 . . . . . . . . . 10
15725, 45, 1563syl 18 . . . . . . . . 9
158 cnvimarndm 5195 . . . . . . . . . . 11
159158difeq2i 3537 . . . . . . . . . 10
160 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . 11
161 ssdif0 3741 . . . . . . . . . . 11
162160, 161mpbi 213 . . . . . . . . . 10
163159, 162eqtri 2493 . . . . . . . . 9
164157, 163syl6eq 2521 . . . . . . . 8
165 0elsiga 29010 . . . . . . . . 9 sigAlgebra
16616, 50, 1653syl 18 . . . . . . . 8
167164, 166eqeltrd 2549 . . . . . . 7
168167adantr 472 . . . . . 6 sigaGen
169 unelsiga 29030 . . . . . 6 sigAlgebra
17052, 155, 168, 169syl3anc 1292 . . . . 5 sigaGen
17149, 170eqeltrd 2549 . . . 4 sigaGen
172171ralrimiva 2809 . . 3 sigaGen
17351, 38ismbfm 29147 . . 3 MblFnMsigaGen sigaGen sigaGen
17442, 172, 173mpbir2and 936 . 2 MblFnMsigaGen
17564adantr 472 . . . . . . 7
176175fveq2d 5883 . . . . . 6
177 measbasedom 29098 . . . . . . . . 9 measures measures
17816, 177sylib 201 . . . . . . . 8 measures
179178adantr 472 . . . . . . 7 measures
180 eldifi 3544 . . . . . . . 8
181180, 113sylan2 482 . . . . . . 7
182126adantr 472 . . . . . . 7
183 sneq 3969 . . . . . . . . . . 11
184183imaeq2d 5174 . . . . . . . . . 10
185 sneq 3969 . . . . . . . . . . 11
186185imaeq2d 5174 . . . . . . . . . 10
187 ffun 5742 . . . . . . . . . . . 12
18818, 187syl 17 . . . . . . . . . . 11
189 sndisj 4387 . . . . . . . . . . 11 Disj
190 disjpreima 28271 . . . . . . . . . . 11 Disj Disj
191188, 189, 190sylancl 675 . . . . . . . . . 10 Disj
192 ffun 5742 . . . . . . . . . . . 12
19320, 192syl 17 . . . . . . . . . . 11
194 sndisj 4387 . . . . . . . . . . 11 Disj
195 disjpreima 28271 . . . . . . . . . . 11 Disj Disj
196193, 194, 195sylancl 675 . . . . . . . . . 10 Disj
197184, 186, 191, 196disjxpin 28275 . . . . . . . . 9 Disj
198 disjss1 4372 . . . . . . . . 9 Disj Disj
199118, 197, 198mpsyl 64 . . . . . . . 8 Disj
200199adantr 472 . . . . . . 7 Disj
201 measvuni 29110 . . . . . . 7 measures Disj Σ*
202179, 181, 182, 200, 201syl112anc 1296 . . . . . 6 Σ*
203 ssfi 7810 . . . . . . . . 9
204117, 118, 203sylancl 675 . . . . . . . 8
205204adantr 472 . . . . . . 7
206 simpll 768 . . . . . . . 8
207 simpr 468 . . . . . . . . . 10
208118, 207sseldi 3416 . . . . . . . . 9
209 xp1st 6842 . . . . . . . . 9
210208, 209syl 17 . . . . . . . 8
211 xp2nd 6843 . . . . . . . . 9
212208, 211syl 17 . . . . . . . 8
213 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16
214 sibfof.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215213, 214sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15
216215ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14
217216necon3ad 2656 . . . . . . . . . . . . 13
218 neorian 2737 . . . . . . . . . . . . 13
219217, 218syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . 12
220219adantr 472 . . . . . . . . . . 11
221220ralrimivva 2814 . . . . . . . . . 10
222206, 221syl 17 . . . . . . . . 9
22369a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
224223sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
225 fniniseg 6018 . . . . . . . . . . . . 13
226206, 63, 2253syl 18 . . . . . . . . . . . 12
227224, 226mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
228 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
229 1st2nd2 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15
230229fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
231 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
232230, 231syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . 13
233232adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
234228, 233eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11
235227, 234syl 17 . . . . . . . . . 10
236 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
237236eldifbd 3403 . . . . . . . . . . 11
238 elsn 3973 . . . . . . . . . . . 12
239238necon3bbii 2690 . . . . . . . . . . 11
240237, 239sylib 201 . . . . . . . . . 10
241235, 240eqnetrrd 2711 . . . . . . . . 9
242180, 76sylanl2 663 . . . . . . . . . . 11
243242, 89syl 17 . . . . . . . . . 10
244242, 102syl 17 . . . . . . . . . 10
245 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13
246245neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . 12
247 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . 13
248247orbi1d 717 . . . . . . . . . . . 12
249246, 248imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
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