HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssji Structured version   Unicode version

Theorem shunssji 26898
Description: Union is smaller than Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shunssji  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  vH  B )

Proof of Theorem shunssji
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . 5  |-  A  e.  SH
21shssii 26742 . . . 4  |-  A  C_  ~H
3 shincl.2 . . . . 5  |-  B  e.  SH
43shssii 26742 . . . 4  |-  B  C_  ~H
52, 4unssi 3638 . . 3  |-  ( A  u.  B )  C_  ~H
6 ococss 26822 . . 3  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~H  ->  ( A  u.  B )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B
) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( A  u.  B )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B
) ) )
8 shjval 26880 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  vH  B
)  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B )
) ) )
91, 3, 8mp2an 676 . 2  |-  ( A  vH  B )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B ) ) )
107, 9sseqtr4i 3494 1  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  vH  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1867    u. cun 3431    C_ wss 3433   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   ~Hchil 26448   SHcsh 26457   _|_cort 26459    vH chj 26462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-hilex 26528  ax-hfvadd 26529  ax-hv0cl 26532  ax-hfvmul 26534  ax-hvmul0 26539  ax-hfi 26608  ax-his1 26611  ax-his2 26612  ax-his3 26613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-2 10657  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sh 26736  df-oc 26781  df-chj 26839
This theorem is referenced by:  shsleji  26899  chunssji  26996
  Copyright terms: Public domain W3C validator