HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Structured version   Unicode version

Theorem shunssi 26700
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shunssi  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
21sheli 26545 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
3 ax-hvaddid 26335 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
43eqcomd 2410 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
52, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
6 shincl.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
7 sh0 26547 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0h  e.  B
9 rspceov 6317 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
108, 9mp3an2 1314 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
115, 10mpdan 666 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
126sheli 26545 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
13 hvaddid2 26354 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  x )  =  x )
1413eqcomd 2410 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
1512, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
16 sh0 26547 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0h  e.  A
18 rspceov 6317 . . . . . 6  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
1917, 18mp3an1 1313 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
2015, 19mpdan 666 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2111, 20jaoi 377 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
22 elun 3584 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
231, 6shseli 26648 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2421, 22, 233imtr4i 266 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  ( A  +H  B
) )
2524ssriv 3446 1  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 366    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755    u. cun 3412    C_ wss 3414  (class class class)co 6278   ~Hchil 26250    +h cva 26251   0hc0v 26255   SHcsh 26259    +H cph 26262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-neg 9844  df-grpo 25607  df-ablo 25698  df-hvsub 26302  df-sh 26538  df-shs 26640
This theorem is referenced by:  shsval2i  26719  shjshsi  26824  spanuni  26876
  Copyright terms: Public domain W3C validator