Theorem shunssi 24916

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunssi	|- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	sheli 24761	. . . . . 6 |- ( x e. A -> x e. ~H )
3		ax-hvaddid 24551	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( x +h 0h ) = x )
4	3	eqcomd 2459	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( x +h 0h ) )
5	2, 4	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. A -> x = ( x +h 0h ) )
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 24763	. . . . . . 7 |- ( B e. SH -> 0h e. B )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rspceov 6230	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ 0h e. B /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
10	8, 9	mp3an2 1303	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
11	5, 10	mpdan 668	. . . 4 |- ( x e. A -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
12	6	sheli 24761	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x e. ~H )
13		hvaddid2 24570	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( 0h +h x ) = x )
14	13	eqcomd 2459	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( 0h +h x ) )
15	12, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. B -> x = ( 0h +h x ) )
16		sh0 24763	. . . . . . 7 |- ( A e. SH -> 0h e. A )
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rspceov 6230	. . . . . 6 |- ( ( 0h e. A /\ x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
19	17, 18	mp3an1 1302	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
20	15, 19	mpdan 668	. . . 4 |- ( x e. B -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
21	11, 20	jaoi 379	. . 3 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
22		elun 3598	. . 3 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
23	1, 6	shseli 24864	. . 3 |- ( x e. ( A +H B ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
24	21, 22, 23	3imtr4i 266	. 2 |- ( x e. ( A u. B ) -> x e. ( A +H B ) )
25	24	ssriv 3461	1 |- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Syntax hints:   \/ wo 368   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2796   u. cun 3427   C_ wss 3429  (class class class)co 6193   ~Hchil 24466   +h cva 24467   0hc0v 24471   SHcsh 24475   +H cph 24478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701  df-neg 9702  df-grpo 23823  df-ablo 23914  df-hvsub 24518  df-sh 24754  df-shs 24856

This theorem is referenced by:  shsval2i  24935  shjshsi  25040  spanuni  25092