Theorem shunssi 26700

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunssi	|- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	sheli 26545	. . . . . 6 |- ( x e. A -> x e. ~H )
3		ax-hvaddid 26335	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( x +h 0h ) = x )
4	3	eqcomd 2410	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( x +h 0h ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. A -> x = ( x +h 0h ) )
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 26547	. . . . . . 7 |- ( B e. SH -> 0h e. B )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rspceov 6317	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ 0h e. B /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
10	8, 9	mp3an2 1314	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
11	5, 10	mpdan 666	. . . 4 |- ( x e. A -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
12	6	sheli 26545	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x e. ~H )
13		hvaddid2 26354	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( 0h +h x ) = x )
14	13	eqcomd 2410	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( 0h +h x ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. B -> x = ( 0h +h x ) )
16		sh0 26547	. . . . . . 7 |- ( A e. SH -> 0h e. A )
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rspceov 6317	. . . . . 6 |- ( ( 0h e. A /\ x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
19	17, 18	mp3an1 1313	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
20	15, 19	mpdan 666	. . . 4 |- ( x e. B -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
21	11, 20	jaoi 377	. . 3 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
22		elun 3584	. . 3 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
23	1, 6	shseli 26648	. . 3 |- ( x e. ( A +H B ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
24	21, 22, 23	3imtr4i 266	. 2 |- ( x e. ( A u. B ) -> x e. ( A +H B ) )
25	24	ssriv 3446	1 |- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Syntax hints:   \/ wo 366   = wceq 1405   e. wcel 1842   E.wrex 2755   u. cun 3412   C_ wss 3414  (class class class)co 6278   ~Hchil 26250   +h cva 26251   0hc0v 26255   SHcsh 26259   +H cph 26262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-neg 9844  df-grpo 25607  df-ablo 25698  df-hvsub 26302  df-sh 26538  df-shs 26640

This theorem is referenced by:  shsval2i  26719  shjshsi  26824  spanuni  26876