Theorem shunssi 10970

Description: Union is smaller than subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunssi	|- (A u. B) C_ (A +H B)

Proof of Theorem shunssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	sheli 10715	. . . . . 6 |- (x e. A -> x e. ~H)
3		ax-hvaddid 10506	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x +h 0h) = x)
4	3	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> x = (x +h 0h))
5	2, 4	syl 12	. . . . 5 |- (x e. A -> x = (x +h 0h))
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 10717	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> 0h e. B)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rcla4eopr 4915	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ 0h e. B /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
10	8, 9	mp3an2 1179	. . . . 5 |- ((x e. A /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
11	5, 10	mpdan 768	. . . 4 |- (x e. A -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
12	6	sheli 10715	. . . . . 6 |- (x e. B -> x e. ~H)
13		hvaddid2 10524	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (0h +h x) = x)
14	13	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> x = (0h +h x))
15	12, 14	syl 12	. . . . 5 |- (x e. B -> x = (0h +h x))
16		sh0 10717	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> 0h e. A)
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rcla4eopr 4915	. . . . . 6 |- ((0h e. A /\ x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
19	17, 18	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
20	15, 19	mpdan 768	. . . 4 |- (x e. B -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
21	11, 20	jaoi 368	. . 3 |- ((x e. A \/ x e. B) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
22		elun 2741	. . 3 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
23	1, 6	shseli 10913	. . 3 |- (x e. (A +H B) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
24	21, 22, 23	3imtr4i 236	. 2 |- (x e. (A u. B) -> x e. (A +H B))
25	24	ssriv 2621	1 |- (A u. B) C_ (A +H B)

Syntax hints:   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   u. cun 2591   C_ wss 2593  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  shunssji 10972  shsumval2i 10993  shjshsi 11048  spanuni 11100  osumi 11221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-sh 10709  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain