HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Structured version   Unicode version

Theorem shunssi 24722
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shunssi  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
21sheli 24567 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
3 ax-hvaddid 24357 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
43eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
6 shincl.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
7 sh0 24569 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0h  e.  B
9 rspceov 6123 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
108, 9mp3an2 1302 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
115, 10mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
126sheli 24567 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
13 hvaddid2 24376 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  x )  =  x )
1413eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
1512, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
16 sh0 24569 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0h  e.  A
18 rspceov 6123 . . . . . 6  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
1917, 18mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
2015, 19mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2111, 20jaoi 379 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
22 elun 3492 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
231, 6shseli 24670 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2421, 22, 233imtr4i 266 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  ( A  +H  B
) )
2524ssriv 3355 1  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    u. cun 3321    C_ wss 3323  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272    +h cva 24273   0hc0v 24277   SHcsh 24281    +H cph 24284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-grpo 23629  df-ablo 23720  df-hvsub 24324  df-sh 24560  df-shs 24662
This theorem is referenced by:  shsval2i  24741  shjshsi  24846  spanuni  24898
  Copyright terms: Public domain W3C validator