Theorem shunssi 24722

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunssi	|- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	sheli 24567	. . . . . 6 |- ( x e. A -> x e. ~H )
3		ax-hvaddid 24357	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( x +h 0h ) = x )
4	3	eqcomd 2443	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( x +h 0h ) )
5	2, 4	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. A -> x = ( x +h 0h ) )
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 24569	. . . . . . 7 |- ( B e. SH -> 0h e. B )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rspceov 6123	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ 0h e. B /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
10	8, 9	mp3an2 1302	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
11	5, 10	mpdan 668	. . . 4 |- ( x e. A -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
12	6	sheli 24567	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x e. ~H )
13		hvaddid2 24376	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( 0h +h x ) = x )
14	13	eqcomd 2443	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( 0h +h x ) )
15	12, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. B -> x = ( 0h +h x ) )
16		sh0 24569	. . . . . . 7 |- ( A e. SH -> 0h e. A )
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rspceov 6123	. . . . . 6 |- ( ( 0h e. A /\ x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
19	17, 18	mp3an1 1301	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
20	15, 19	mpdan 668	. . . 4 |- ( x e. B -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
21	11, 20	jaoi 379	. . 3 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
22		elun 3492	. . 3 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
23	1, 6	shseli 24670	. . 3 |- ( x e. ( A +H B ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
24	21, 22, 23	3imtr4i 266	. 2 |- ( x e. ( A u. B ) -> x e. ( A +H B ) )
25	24	ssriv 3355	1 |- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Syntax hints:   \/ wo 368   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   u. cun 3321   C_ wss 3323  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272   +h cva 24273   0hc0v 24277   SHcsh 24281   +H cph 24284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-grpo 23629  df-ablo 23720  df-hvsub 24324  df-sh 24560  df-shs 24662

This theorem is referenced by:  shsval2i  24741  shjshsi  24846  spanuni  24898