Theorem shunssi 25962

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunssi	|- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	sheli 25807	. . . . . 6 |- ( x e. A -> x e. ~H )
3		ax-hvaddid 25597	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( x +h 0h ) = x )
4	3	eqcomd 2475	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( x +h 0h ) )
5	2, 4	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. A -> x = ( x +h 0h ) )
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 25809	. . . . . . 7 |- ( B e. SH -> 0h e. B )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rspceov 6319	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ 0h e. B /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
10	8, 9	mp3an2 1312	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x = ( x +h 0h ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
11	5, 10	mpdan 668	. . . 4 |- ( x e. A -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
12	6	sheli 25807	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x e. ~H )
13		hvaddid2 25616	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( 0h +h x ) = x )
14	13	eqcomd 2475	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> x = ( 0h +h x ) )
15	12, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. B -> x = ( 0h +h x ) )
16		sh0 25809	. . . . . . 7 |- ( A e. SH -> 0h e. A )
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rspceov 6319	. . . . . 6 |- ( ( 0h e. A /\ x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
19	17, 18	mp3an1 1311	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ x = ( 0h +h x ) ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
20	15, 19	mpdan 668	. . . 4 |- ( x e. B -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
21	11, 20	jaoi 379	. . 3 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
22		elun 3645	. . 3 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
23	1, 6	shseli 25910	. . 3 |- ( x e. ( A +H B ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) )
24	21, 22, 23	3imtr4i 266	. 2 |- ( x e. ( A u. B ) -> x e. ( A +H B ) )
25	24	ssriv 3508	1 |- ( A u. B ) C_ ( A +H B )

Syntax hints:   \/ wo 368   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   u. cun 3474   C_ wss 3476  (class class class)co 6282   ~Hchil 25512   +h cva 25513   0hc0v 25517   SHcsh 25521   +H cph 25524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-grpo 24869  df-ablo 24960  df-hvsub 25564  df-sh 25800  df-shs 25902

This theorem is referenced by:  shsval2i  25981  shjshsi  26086  spanuni  26138